数值分析裡的中点法（midpoint method）是求解常微分方程的一種数值方法，屬於單步法。
: y'(t) = f(t, y(t)), \quad y(t_0) = y_0 .
上式的顯式中點法為
{{NumBlk|:| y_{n+1} = y_n + hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n, y_n)\right), |}}
隱式中點法為
{{NumBlk|:| y_{n+1} = y_n + hf\left(t_n+\frac{h}{2},\frac12 (y_n+y_{n+1})\right), |}}
n=0, 1, 2, \dots。此處h是步階長度，是一個小的正數，t_n=t_0 + n h,，而y_n是計算y(t_n)的近似值。顯式中點法也稱為是改良的歐拉方法（modified Euler method），隱式中點式是最簡單的（Collocation method），可用在哈密頓力學，也就是。
此方法的名稱是因為上述公式會用到函數在t = t_n + h/2= \tfrac{t_n+t_{n+1}}{2}位置的值，也就是在t_n以及t_{n+1}中點時的值，前者的值已知，後者的值未知，在計算中點的值時，也需要有一些假設，才能進行計算。
配合圖示（見右圖）會比較容易理解此一方法。在原始的欧拉方法裡，會用f(t_n, y_n)，計算曲線在(t_n, y_n)處的切線。此切線和垂直線t=t_{n+1}的交點即為下一個點 y_{n+1}的值。不過，若此函數的二階導數在時間t_n和t_{n+1}的區間均為正, 或是均為負（如圖中的例子），隨著h加大，曲線和切線的距離會越來越遠，導致大誤差。圖中所畫的中點的切線（上方，綠線）比較可以近似這段曲線。不過因為要求解的就是此一曲線，時間t_n的資訊已知，其他資訊不足，可能無法精準的畫出中點處的切線。
因此，會先用原始的歐拉方法估計在中點的y(t)值，再用f()以及估計的中點資訊，計算切線斜率。用改善後的切線從y_n計算y_{n+1}的值。最後一步即為圖的紅色弦線。因為紅色弦線是估計值，用的是y(t)在中點處的估計值，不一定真的會和綠線（真正的中點切線）平行，仍會有誤差。
中點法每一步的局部誤差是O\left(h^3\right)，全域誤差是O\left(h^2\right)。其運算比歐拉方法要大，但在h \to 0的過程中，中點法的誤差會比歐拉方法降低的更快。
此法也是高階方法（如龙格-库塔法）的範例之一。
中點法的推導
中點法可以視為是改良版的欧拉方法
: y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n),\,
因此用類似的方式推導。
推導欧拉法的關鍵是以下的近似等式
是源自以下的斜率公式
{{NumBlk|:| y'(t) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h} |}}
，其中 y' = f(t, y).
在中點法中，將(3)改為更準確的式子
: y'\left(t+\frac{h}{2}\right) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h}
因此可以得到以下類似(3)式，計算 y(t+h)的式子
{{NumBlk|:| y(t+h) \approx y(t) + hf\left(t+\frac{h}{2},y\left(t+\frac{h}{2}\right)\right). |}}
在上式中，因為還不知道y在t+h/2的值，無法用上式直接計算 y(t+h)。解法是用欧拉方法來求解y(t+h/2):
:y\left(t + \frac{h}{2}\right) \approx y(t) + \frac{h}{2}y'(t)=y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t)),
代入(4)式中，可得
:y(t + h) \approx y(t) + hf\left(t + \frac{h}{2}, y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))\right)
以上則是顯式的中點法(1e)。
隱式中點法(1i)可以將此時間內的波形假設為直線，中間步數t+h/2的值用y(t)和y(t+h)的平均值來表示
:y\left(t+\frac h2\right)\approx \frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)
因此
:\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx y'\left(t+\frac h2\right)\approx k=f\left(t+\frac h2,\frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)\right)
因為隱式方法的時間對稱性，局部誤差中h的偶次項都消去了，局部誤差的階數是＼\mathcal O(h^3)。
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腳註
參考資料
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