随机测度

在概率论中，随机测度是测度值的随机元素。 随机测度可应用于随机过程理论中，随机测度形成了许多重要的点过程，例如泊松点过程和。

定义
随机测度可以定义为转移核或随机元素。对于一些标准情况（其中的具体要求如可测空间是博雷尔空间），这两种定义是等价的。

作为转移核
对于可测空间 (S,\mathcal S), (T, \mathcal T) ，称 \zeta 是一个 (S,\mathcal S) 到 (T, \mathcal T) 的转移核，是指它是一个二元函数 \zeta: S\times \mathcal T\to\mathbb R^+ （值域可能根据考虑的测度的类型而改变，如有符号测度），且满足以下性质：

• 若在第二变元处填充任一固定的可测集 B \in \mathcal \mathcal S ，所得到的映射 s\mapsto\zeta(s, B) 是 (S, \mathcal S) 上的可测函数。

• 若在第一变元处填充任一固定的元素 s\in S ，所得到的映射 B \mapsto \zeta(s, B) 是 (T, \mathcal T) 上的一个测度。

对于 (S,\mathcal S), (T, \mathcal T) 为博雷尔空间的情况，局部有限转移核可视作随机元素。

随机测度则定义为一个概率空间 (\Omega, \mathcal A, P) 到一个可测空间 (E, \mathcal E) 的（几乎必然）局部有限转移核。

在随机过程的背景下，马尔可夫核（也称随机核、概率核）的概念与此相关。

作为随机元素
在前文中，「在第一变元处填充一固定的元素」的结果是得到了一个测度。实际上填充这个变元过程本身所给出的映射也是一个 (S,\mathcal S) 到 \mathcal M_{\mathcal T} 的可测函数，其中 \mathcal M_{\mathcal T} 是 (T, \mathcal T) 上的局部有限测度所构成的空间。

全体局部有限测度构成的集合 \mathcal M_{\mathcal T} 若要构成可测空间，须配备一个σ-代数。

对于任一有界可测集合 \tilde B ，可定义求值映射（也称投影映射）

\pi_{\tilde B }:\mathcal M_{\mathcal T}\to \R:\mu\mapsto\mu(\tilde B).

可构造出令全体投影映射成为可测函数的最小σ-代数，称为 \{\pi_{\tilde B }\} 生成的（或诱导的）σ-代数。

随机测度即是一个概率空间 (\Omega, \mathcal A, P) 到测度所构成的上述可测空间的随机元素。

基本相关概念
强度测度
对于给定随机测度 \zeta 和任一正可测函数 f ，满足

: \operatorname E \left[ \int f(x) \; \zeta (\mathrm dx )\right] = \int f(x) \; \operatorname E \zeta (\mathrm dx)

的测度 \operatorname E \zeta 被称为 \zeta 的强度测度。强度测度对于每个随机测度都存在，并且是s-有限测度。

支撑测度
对于给定的随机测度 \zeta 和任一正可测函数 f ，满足

: \int f(x) \; \zeta(\mathrm dx )=0 \text{ a.s. } \text{ iff } \int f(x) \; \nu (\mathrm dx)=0

的测度 \nu 被称为 \zeta 的支撑测度。所有随机测度都有支撑测度，并且可以选择为有限的。

拉普拉斯变换
给定随机测度 \zeta ，可定义任一正可测函数 f 的拉普拉斯变换如下

: \mathcal L_\zeta(f)= \operatorname E \left[ \exp \left( -\int f(x) \; \zeta (\mathrm dx ) \right) \right].

基本性质
积分的可测性
给定随机测度 \zeta ，正的 \mathcal E -可测函数 f 的积分

: \int f(x) \zeta(\mathrm dx)

和 \zeta(A) := \int \mathbf 1_A(x) \zeta(\mathrm dx)

是可测的，所以它们是随机变量。

唯一性
随机测度的分布由以下一族积分的分布唯一确定

: \int f(x) \zeta(\mathrm dx),

其中 f 是 E 上的紧支撑连续函数。对于给定的一个生成 \mathcal E （即 \sigma(\mathcal I)=\mathcal E ）的半环 \mathcal I \subset \mathcal E ，随机测度的分布也由所有正简单 \mathcal I -可测函数 f 唯一确定。

分解
一个测度通常可以分解为：

: \mu=\mu_d + \mu_a = \mu_d + \sum_{n=1}^N \kappa_n \delta_{X_n},

这里 \mu_d 是弥散测度，而 \mu_a 是一种纯原子测度。

随机计数测度
具有下列形式的随机测度称为点过程或随机计数测度：

: \mu=\sum_{n=1}^N \delta_{X_n},

其中 \delta 是狄拉克测度、 X_n 是随机变量。该随机测度描述了N 个粒子的集合，其位置由（通常是向量值的）随机变量 X_n 给出。计数测度没有弥散分量 \mu_d 。

在上述的形式记号中，随机计数测度是从概率空间到可测空间 (N_X,\mathfrak{B}(N_X)) 的映射。这里 N_X 是全体有界有限整数值测度（称为计数测度）N \in M_X 所构成的空间。

期望测度、拉普拉斯泛函、矩测度和随机测度的平稳性的定义是基于点过程的定义。随机测度在蒙特卡罗方法的描述和分析中很有用，例如蒙特卡罗数值求积法和粒子滤波器。

参见

• 泊松过程
• 向量测度

参考资料
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文内引用
注释