函数的\operatorname{argmax}都是{0}，因为两者都在x=0时取得全局最大值1.
未归一化sinc函数（红）的arg min 约为{-4.49, 4.49}，因为在x=\pm 4.49处有两个全局最小值，约为-0.217。归一化sinc函数（蓝）的arg min约为{−1.43, 1.43}，因为它们的全局最小值在x=\pm 1.43处，尽管最小值相同。]]
数学中，极值点（arguments of the maxima/minima，分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin）是使函数输出值取得极值的输入点。函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。
定义
给定任意集合X、全序集Y与函数f\colon X \to Y，则某子集S\subseteq X上的\operatorname{argmax}定义为
:\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x),\ \forall s \in S \}.
若S = X或S在语境中明确，则通常省略S，如\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x),\ \forall s \in X \}.也就是说，\operatorname{argmax}是点x的集合，使f(x)到达函数最大值（若存在）。\operatorname{Argmax}可以是空集、单元集，或包含多个元素。
在凸分析与变分分析中，Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}（是广义实数）的情形时的定义略有不同。这时，若f等同于S上的\infty，则\operatorname{argmax}_S f := \varnothing（即\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing），否则\operatorname{argmax}_S f定义如上，这时\operatorname{argmax}_S f也可以写成
:\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}
这里要强调的是，这个涉及\sup {}_S f的等式只有当f在S上不等同于\infty时才成立。
Arg min
\operatorname{argmin}（或\operatorname{arg\,min}）表示极小值点，定义与之类似。例如
:\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x) \text{ for all } s \in S \}
是使函数值f(x)取得极小值的点x。它是\operatorname{arg\,max}的补算子。
在Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}（是广义实数）的情形时，若f在S上等同于-\infty，则\operatorname{argmin}_S f := \varnothing（即\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing），否则\operatorname{argmin}_S f定义如上，这时它也满足
:\operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}.
例子与性质
例如，若f(x)=1 - |x|，则f只有在x = 0这一点上取最大值1。因此
:\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.
\operatorname{argmax}算子与\max不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说
:\max_x f(x) is the element in \{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.
max可以是空集（这时极大值未定义），这与\operatorname{argmax}相同；不同的是\operatorname{max}可能不含多个元素。例如，取f(x)=4 x^2 - x^4,则\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},但\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}因为函数在\operatorname{argmax}的每个元素上都取相同的值。
等价地，若M是f的极大值，则\operatorname{argmax}是极大值的水平集：
:\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = \{ x ~:~ f(x) = M \} =: f^{-1}(M).
可以将其重排，得到简单的等式
:f\left(\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) \right) = \max_x f(x).
若极大值点只有一个，那么\operatorname{argmax}应被视为一个点，而非点集。例如
:\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5
（而非单元集\{ 5 \}），因为x (10 - x)的极大值25仅在x = 5时取到。而若在多个点上都取得极大值，\operatorname{argmax}就应被视为点集。例如
:\underset{x \in [0, 4 \pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{ 0, 2 \pi, 4 \pi \}
因为maximum value of \cos x的极大值1在x = 0, 2 \pi,\ 4 \pi时取到。在整条实数线上
:\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},因此是无限集。
函数不必达到极大值，因此\operatorname{argmax}有时是空集。例如\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing，因为x^3在实数线上无界。再举个例子，\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing，虽然\arctan有界（\pm\pi/2），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的\operatorname{argmax}。
另见
- 函数的自变量
- 极值
- 众数 (数学)
- 最优化
- 核 (线性算子)
注释
参考文献
*
外部链接
*
评论 (0)