数学和理论物理中，*超代数指的是Z2-分次代数。也就是说，它是交换环或域上的代数，可以分解为“奇偶”两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。
“超”来自理论物理中的超对称。超代数及其表示（超模）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用，它们进入了分次流形、超流形和超概形。
形式定义
令K为交换环。在大多数应用中，K是特征为0的域，如R、C等。
K上的超代数是具有直和分解的K-模A：
:A = A_0\oplus A_1
以及双射乘法A\times A\to A，使
:A_iA_j \sube A_{i+j}
其中下标读作模2，即将其看做\Z_2的元素。
超环或\Z_2分次环是整数环\Z上的超代数。
每个A_i中的元素称作齐次的。齐次元x的奇偶性记作，根据是在A_0还是在A_1中取0或1的值。称奇偶性为0的元素是偶的，奇偶性为1的元素是奇的。若x、y都齐次，则积xy也齐次，且|xy| = |x| + |y|。
结合超代数指乘法符合结合律的超代数，含幺超代数是指有乘法单位元的超代数。含幺超代数中的单位元必须是偶的。除非另有说明，本文中所有超代数都假定是结合含幺的。
交换超代数（或超交换代数）是一种满足交换律的分次版本的超代数。具体来说，若对A中所有齐次元x、y
:yx = (-1)^xy\,
则称A交换。有些超代数在普通意义上是交换的，而在超代数意义上不是，因此为避免混淆，交换超代数常称作“宠爱交换”。
例子
交换环K上任意代数都可视作K*上的纯偶超代数，即将A_1视作平凡的。
任何Z-或N-分次代数都可通过读取次数模2被视为超代数。这包括张量代数和K*上的多项式环等例子。
特别地，K*上任何外代数都是超代数，外代数是超交换代数的标准例子。
*对称多项式与交替多项式分别构成同一超代数的偶部分和奇部分，注意这是与分次不同的分级。
*克利福德代数是超代数，通常是非交换的。
*超向量空间所有自同态的集合（记作\mathbf{End} (V) \equiv \mathbf{Hom}(V,V)，其中粗体的\mathrm {Hom}被称作内部（interval）\mathrm {Hom}，由所有线性映射组成）形成了组合运算下的超代数。
元素属于K的所有超方阵的集合形成了超代数，记作M_{p|q}(K)。此代数可以视作等同于秩为p|q的K*上自由超模的自同态代数，是这空间的内部Hom。
*李超代数是李代数的分次类似物。李超代数是无幺、非结合的，但可以构造类似于李超代数的泛包络代数，它是含幺结合超代数。
进一步的定义与构造
偶子代数
令A为交换环K上的超代数。子模A_0包含所有偶元，对乘法封闭，包含A的单位元，因此形成了A的子代数，自然地称作偶子代数，构成了K上的普通代数。
所有奇元素A_1的集合是A_0-双模，其标量乘法就是A中的乘法。A中的积使A_1具有双线性形式
:\mu:A_1\otimes_{A_0}A_1 \to A_0
使得\forall x,\ y,\ z\in A_1,
:\mu(x\otimes y)\cdot z = x\cdot\mu(y\otimes z)
这源于A中积的结合性。
次对合
任何超代数上都有规范的对合自同构，称作次对合（grade involution），在齐次元上表为
:\hat x = (-1)^x
在任意元上表为
:\hat x = x_0 - x_1
其中x_i是x的齐次部分。若A无2-扭子（特别是若2可逆），则次对合可区分A的奇偶部分：
:A_i = \{x \in A : \hat x = (-1)^i x\}.
超交换
A上的超交换子（supercommutator）是齐次元的二元运算
:[x,y] = xy - (-1)^yx
并可以线性推广到A的所有元素。若\exists x,\ y\in A,\ [x,\ y]=0，称x、*y超交换。
A的超中心（supercenter）是A中与所有元素超交换的元素集合：
:\mathrm{Z}(A) = \{a\in A : [a,x]=0 \text{ for all } x\in A\}.
一般来说A的超中心与作为未分次代数的特征的中心不同。交换超代数的超中心是A的全部元素。
超张量积
两超代数A、B的分次张量积可视作超代数A\otimes B，乘法规则为
:(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) = (-1)^(a_1a_2\otimes b_1b_2).
若A或B是纯偶的，则这等同于普通的未分次张量积（不过结果是分次的）。但总之，超张量积一般不同于将A、B视作普通未分次代数的张量积。
推广与范畴论定义
可以很容易地将超代数的定义推广到包括交换超环上的超代数。上述定义是基环为纯偶的特例。
令R为交换超环。R上的超代数（superalgebra）是R-超模A，具有遵从分次的R-双线性乘法A\times A\to A。此处双线性意味着对所有齐次元r\in R,\ x,\ y\in A,
:r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = (-1)^x(r\cdot y)
等价地，可以把R上的超代数定义为超环A与超环同态R\to A，其像位于A的超中心。
超代数还有范畴论定义。所有R-超模组成的范畴在超张量积下形成幺半范畴（monoidal category）（R为单位对象）。接着，R上的结合含幺超代数可定义为R-超模范畴中的幺半对象（monoid）；即，超代数是具有两个（偶）态射
:\begin{align}\mu &: A\otimes A \to A\\ \eta &: R\to A\end{align}
的R-超模A，其通常图是交换的。
注释
参考文献
*
*
*
*
评论 (0)