在數學上，特別是超越數論和丟番圖逼近的研究中，西格爾引理（Siegel's lemma）指的是從輔助函數的構造中得到的線性方程的解的界限。這些多項式的存在性由阿克塞爾·圖厄所證明：圖厄的證明用到了鴿巢原理，卡爾·路德维希·西格爾在1929年出版此引理。這是一個線性方程組方面純粹的存在性定理。
近年來，西格爾引理受到改進以得出比引理給出的估計更強的界限。
陳述
設有一組有M個方程、N個未知數，且N > M的方程組，其中的方程式有著如下的形式：
:a_{11} X_1 + \cdots+ a_{1N} X_N = 0
:\cdots
:a_{M1} X_1 +\cdots+ a_{MN} X_N = 0
在這些方程組的係數為有理數、不全為零，且以B為界的狀況下，這方程組有如下的解：
:(X_1, X_2, \dots, X_N)
其中的X全為有理數、不全為0，且上下界如下：
:(NB)^{M/(N-M)}
Bombieri及Vaaler在1983年對X給出了如下更強的界限（）：
:\max|X_j| \,\le \left(D^{-1}\sqrt{\det(AA^T)}\right)^{\!1/(N-M)}
其中D是矩陣A的M\times M子式的最大公因數，而A^T則是其轉置矩陣。他們的證明涉及了將鴿巢原理以幾何數論的技巧取代的做法。
參見
*丟番圖逼近
參考資料
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- Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) (Pages 125-128 and 283–285)
- Wolfgang M. Schmidt. "Chapter I: Siegel's Lemma and Heights" (pages 1–33). Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
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