安德里卡猜想（Andrica's conjecture）是關於質數間的間隙的猜想，以罗马尼亚数学家的名字命名。
該猜想認為，對於任意的n，下述不等式成立：
:\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}
其中p_n是第n個質數。若g_n = p_{n+1} - p_n是第n個質數間隙，那麼安德里卡猜想可表述如下：
:g_n
實證證據
伊姆兰·戈里（Imran Ghory）用了大質數間隙的資料，證實了該猜想對大到1.3002\times 10^{16}的n都成立。利用最大質數間隙（maximal gap）和質數間隙不等式，可將此結果推廣到大到4\times 10^{18}的n之上。
離散方城A_n = \sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}呈遞減，其中A_n的「高水位」標記，出現在n=1,2,4之處，其中A_4\sim0.670873...，而對於最初的10^5個質數而言，沒有比這更大的值。由於A_n該方程對n呈現漸近遞減之故，因此若要在n不斷變大的情況下使得這個差變大，一個不斷增長的質數間隙是必要的。故該猜想非常可能是正確的，但目前還沒有證明。
推廣
安德里卡猜想的推廣會論及以下等式：
: p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x = 1,
其中p_n是第n個質數，而是任意正實數。
易證的最大可能解出現於n=1處，在此處，x_{max}=1；而有猜想認為，的最小可能解出現於n=30處，在此處，x_{min}\sim0.567148...。
該猜想也可以不等式表述，因此廣義安德里卡猜想可表述如下：
:對於x 而言， p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x
參見
- 克拉梅爾猜想
- 勒讓德猜想
- 菲鲁兹巴赫特猜想
參考和註解
*
外部連結
- [https://web.archive.org/web/20070711030648/http://planetmath.org/encyclopedia/AndricasConjecture.html Andrica's Conjecture] at PlanetMath
- [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9636 Generalized Andrica conjecture] at PlanetMath
*
评论 (0)