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本征态热化假说

Wikipedia · 2025-12-13 维基百科 👁 1 阅读

本征态热化假说（或ETH ）是一组旨在解释何时以及为何可以使用平衡态统计力学准确描述孤立的量子力学系统的想法。特别的，它致力于了解最初在远离平衡状态下制备的系统如何及时演化到似乎处于热平衡的状态。 “本征态热化”一词最初由 Mark Srednicki 于 1994 年提出， 此前 Josh Deutsch 于 1991 年提出了类似的想法本征态热化假说的基本原理是，我们不应该像经典力学那样通过动力学混沌机制来解释热力学系统的遍历性，而应该检查系统的单个能量本征态中可观测量的矩阵元素的性质。

动机
在统计力学中，微正则系综是一种特殊的统计系综，用于预测在孤立系统上进行的实验结果，这些系统被认为处于确切已知能量的宏观平衡状态。微正则系综基于这样的假设：当探测这样一个平衡系统时，在具有相同总能量的任何微观状态下发现它的概率具有相等的概率。 有了这个假设， 可观察量的整体平均值是通过对该可观察量在所有总能量符合的微观状态$i$上的平均$A_i$得到的: 在零时刻在能量本征态基底上给出一个初态

:
| \Psi(0) \rangle = \sum_{\alpha} c_{\alpha} | E_{\alpha} \rangle,

任何可观测值的期望值\hat{A}是

:
\langle \hat{A} \rangle_t \equiv \langle \Psi(t) | \hat{A} |\Psi(t) \rangle = \sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha}^{*} c_{\beta} A_{\alpha \beta} e^{-i \left ( E_{\beta} - E_{\alpha} \right )t / \hbar }.

即使E_{\alpha}的分布是不均匀的，因此该观察量的长时间期望值由下式给出

:
\langle \hat{A} \rangle_t \overset{t\to\infty}{\approx} \sum_{\alpha} \vert c_{\alpha}\vert^2 A_{\alpha \alpha},

期望值以系数的形式永久保留初始状态的知识c_{\alpha} 。

因此，原则上，一个悬而未决的问题是，在任意初始状态下制备的孤立量子力学系统是否会接近类似于热平衡的状态，在该状态下，少数可观测量足以对系统做出成功的预测。然而，在冷原子气体中进行的各种实验确实观察到系统中的热弛豫，这些系统非常接近地与环境完全隔离，并且具有多种初始状态。 解释实验观察到的平衡统计力学对孤立量子系统的适用性的任务是本征态热化假说的主要目标。

陈述
假设我们正在研究一个孤立的量子力学多体系统。在本文中，“隔离”是指系统与其外部环境没有（或至少可以忽略不计）交互。如果系统的哈密顿量表示为\hat{H} ，然后根据哈密顿量的本征态给出系统的一组完备本征基，

:
\hat{H} |E_{\alpha} \rangle = E_{\alpha}|E_{\alpha} \rangle ,

此处|E_{\alpha} \rangle是具有本征值值E_{\alpha} 的哈密顿量本征态 。我们将这些状态简称为“能量本征态”。为了简单起见，我们假设系统的能量本征值不存在简并性，并且其范围是有限的，因此能量本征值形成离散的、非简并的谱（这並裶是一个不合理的假设，因为任何「現實」的实验室系统往往具有足够的无序性和足够强的相互作用，以消除系统中几乎所有的简并性，当然，其规模也是有限的 ）。这使我们能够按照能量本征值递增的顺序来标记能量本征态。此外，考虑一些其他量子力学可观察的\hat{A} ，我们希望对其进行热力学预测。该算子的矩阵元素，以能量本征态表示，为

:
A_{\alpha \beta} \equiv \langle E_{\alpha} | \hat{A} | E_{\beta} \rangle .

现在，我们假设我们将系统制备在某初態，其\hat{A}的期望值，与在适合所讨论的能量尺度的微正则系综中预测的值相去甚远（我们假设我们的初始状态是能量本征态的某种叠加，被疊加的本徵態在能量上都足够“接近”）。本征态热化假说指出，对于任意初始状态，期望值\hat{A}最终将及时演化到微正则系综所预测的值，此后将仅在该值附近表现出较小的波动，前提是满足以下两个条件： 对角系综最重要的方面是它明确依赖于系统的初始状态，因此似乎保留了系统所有的初始信息。相反，微正则系综中的预测值由以系统平均能量为中心的某个能量窗口内所有能量本征态的等权平均值给出

期望值的时间涨落
ETH 对可观测量的对角线元素施加的条件负责对角线和微正则系综的预测的相等性。

量子涨落和热涨落
量子力学可观测量的期望值表示对相同准备的量子态系综进行重复测量后测得的平均值。因此，虽然我们一直在研究这个期望值作为主要感兴趣的对象，但尚不清楚它在多大程度上代表了物理相关量。由于量子涨落，可观测值的期望值通常不是在孤立系统上进行的一次实验中测量到的值。然而，已经表明，对于满足 ETH 的可观测值，其期望值的量子涨落通常与传统微正则系综中预测的热涨落具有相同的数量级。 在相互作用的量子系统中是否可以更普遍地证明它是正确的仍然是一个悬而未决的问题。众所周知，某些可积系统会明显失效，在这些系统中，大量运动常数的存在会阻碍热化。

通常，ETH 被假设为对“少体算子”有效 一个没有静态无序的完全孤立的、不可积的系统是否会无法热化仍然是一个悬而未决的问题。一种有趣的可能性是“量子解纠缠液体”的实现。 在热化系统中，是否所有本征态都必须服从 ETH，这也是一个悬而未决的问题。

本征态热化假说与混沌的量子性质密切相关（参见量子混沌）。此外，由于经典混沌系统也是遍历的，因此几乎所有其轨迹最终都会均匀地探索整个可访问相空间，这意味着量子混沌系统的本征态在半经典近似\hbar \rightarrow 0下均匀地填充量子相空间（直到随机涨落） 。特别地，有一个量子遍历定理表明算子的期望值在\hbar \rightarrow 0时收敛到相应的微正则经典平均值。然而，量子遍历定理留下了非遍历态的可能性，例如量子疤痕。除了传统的疤痕之外， 还有另外两种类型的量子疤痕，它们进一步说明了量子混沌系统中的弱遍历性破缺：扰动引起的量子疤痕 和多体量子疤痕。 由于前者产生了特殊的近简并未扰动态和扰动的局部性质的综合效应， 是实验观察到的冷原子热化出乎意料缓慢的罪魁祸首。
 
註釋
参考文献
外部链接

#热力学 #量子力学 #统计力学 #假说

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