逆散射变换是求解某些非线性偏微分方程的一种方法，在某种意义上是傅里叶变换的非线性推广。这种方法的核心思想是，从散射数据的演变中恢复势的演变：逆散射指的是从散射矩阵中恢复势的问题。
逆散射变换可用于许多所谓“完全可解模型”，即完全可积的无限维系统。
概述
逆散射变换首先由提出，用于求解KdV方程，并很快扩展到非线性薛定谔方程、正弦-戈尔登方程及户田晶格方程。后来也用于求解KP方程、石森方程、迪姆方程等等。博格莫尼方程（对于给定的规范群与定向黎曼3流形）提供了一族例子，其L^2解是磁单极子。
用逆散射法得到的解有一个特点，就是存在孤波，是类似于粒子又类似于波的解，线性偏微分方程中没有这种解。“孤波”是非线性光学的概念。
逆散射问题可以写作黎曼–希尔伯特分解问题，至少在一个空间维度的方程中是这样。这种表述可以推广到多阶微分算子和周期势。
在更高的空间维度中，会遇到“非局部”黎曼–希尔伯特分解问题（用卷积代替乘法）或Dbar问题。
例子：KdV方程
KdV方程是非线性分散演化偏微分方程，涉及有两个实变量（空间变量x与时间变量t）的函数u：
: u_t - 6uu_x + u_{xxx} = 0
其中 u_t 、 u_x 分别表示关于t和x的偏导数。
u(x,0)是x的已知函数，要解初值问题，可将薛定谔特征方程
: \psi_{xx} -u\psi=\lambda\psi.
与这个方程联系起来，其中\psi是t与x的未知函数，u是KdV方程的解，除了在t=0时未知。常数\lambda是一个特征值。
根据薛定谔方程，可得
: u=\frac{1}{\psi} \psi_{xx} - \lambda.
将其代入KdV方程并积分，得到
: \psi_t + \psi_{xxx} -3(u-\lambda)
\psi_x = C\psi+D\psi\int \frac{1}{\psi^2} dx
其中C、D为常数。
解法
Step 1. 确定非线性偏微分方程。这通常是通过分析所研究的物理实现的。
Step 2. 应用正向散射。关键是找到Lax 对，Lax 对由两个线性算子L、M组成，即Lv=\lambda v、v_t=Mv。极为重要的是，特征值\lambda与时间无关，即\lambda_t=0.实现这一点的必要条件与充分条件如下：取Lv=\lambda v的时间导数，得到
:L_t v + L v_t = \lambda_t v + \lambda v_t .
将Mv插入v_t，得到
:L_t v + LMv = \lambda_t v + \lambda Mv.
重排最右侧的项，得到
:L_t v + LMv = \lambda_t v + MLv.
因此，
:L_t v + LMv - MLv = \lambda_t v.
由于v\not=0，这意味着\lambda_t = 0当且仅当
:L_t + LM - ML = 0. \,
这是Lax方程，当中L_t是L的时间导数，明确地依赖于t。之所以这样定义微分，是因为L的最简单实例，即薛定谔算子（参薛定谔方程）：
:L = \partial_{xx} + u,
其中u是“势”。比较表达式L_t v + L v_t与\partial_t \left(v_{xx} +uv\right)，可以发现L_t = u_t,因此可以忽略第一项。
拟合出适当的Lax对后，Lax方程应可恢复原来的非线性PDE。
Step 3. 确定与每个特征值\lambda相关的特征函数、规范常数与反射系数的时间演化，它们构成所谓散射数据。演化由线性常微分方程给出，可以求解。
Step 4. 通过求解马琴科方程这一线性积分方程，进行逆散射，从而获得原非线性PDE的最终解。为此，需要所有散射数据。若反射系数为零，过程会简单很多。若L是一阶微分或二阶差分，这步就会起作用，但对高阶算子则不一定。不过，在所有情况下，逆散射问题都可以简化为黎曼–希尔伯特问分解问题。（两种方法见于Ablowitz-Clarkson (1991)。数学上的严格处理方法参Marchenko (1986)。）
可积方程的例子
- KdV方程
- 非线性薛定谔方程
- 卡马萨-霍尔姆方程
- 正弦-戈尔登方程
- 户田晶格
- 石森方程
- 迪姆方程
另见
- 量子逆散射法
参考文献
阅读更多
M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform*, SIAM, Philadelphia, 1981.
N. Asano, Y. Kato, Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations*, Longman Scientific & Technical, Essex, England, 1990.
M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering*, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
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*V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.
J. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications*, SIAM, Philadelphia, 2004.
- Eds: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. "Solitons" Topics in Current Physics 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.
外部链接
- [https://arxiv.org/abs/0905.4746 Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons]
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