相等

在數學的領域中，若兩個数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“=”；x=y当且仅当x和y相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如6-2=4，即6-2與4是相等的。

注意，有些时候“A=B”并不表示等式。例如，T(n)=O(n^2)表示在数量级n^2上渐进。因為这裡的符号“=”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上，O(n^2)=T(n)是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

集合A上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。
实际上，这是A 上唯一满足所有这些性质的关系。
去掉对反对称性的要求，就是等价关系。
相应的，给定任意等价关系R，可以构造商集A/R，并且这个等价关系将‘下降为’A/R上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

邏輯形式
謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。
萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。
形式化這一說法，可以寫成
:對任意x和y，x=y當且僅當對任意謂詞P ，P(x)當且僅當P(y)。
然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：
:對任意x和y，若x等於y，則P(x)當且僅當P(y)。

這條公理對任意單變量的謂詞P都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若x和y相等，則它們具有相同的性質。
可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

:對任意x，x等於x。

則若x和y具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞P是相同的。這裡謂詞P為：P(z)當且僅當x=z。
由於P(x)成立，P(y)必定也成立（相同的性質），所以x=y（' 'P的變量為y）.

等于的一些基本性质
替代性
对任意量a和b和任意表达式F(x)，若a = b，则F(a) = F(b)（设等式两边都有意义）。
在一阶逻辑中，不能量化像F这样的表达式（它可能是个函数谓词）。
一些例子：

• 对任意实数a, b, c，若a = b，则a + c = b + c（这里F(x)为x + c）
• 对任意实数a, b, c，若a = b，则a - c = b - c（这里F(x)为x - c）
• 对任意实数a, b, c，若a = b，则ac = bc（这里F(x)为xc）
• 对任意实数a, b, c，若a = b且c \ne 0，则a / c = b / c（这里F(x)为x / c）

自反性
对任意量a，a=a。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性
例子：如果a=b，那么b=a

传递性
例子：如果a=b，b=c，那么a=c

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史
「等于」符号或 「=」被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是\approx或≒，不等于的符号是\neq。

参见

• 等号

外部链接
*[https://web.archive.org/web/19981205051406/http://members.aol.com/jeff570/relation.html 关系符号的早期使用（英文）]