極正弦

極正弦（）是正弦函數的推廣。
其將正弦函數從原本只能計算平面角推廣到可以計算多胞形的頂角。
極正弦函數通常記為或。
不同於一般的正弦，極正弦的輸入值並非是角度，而是能代表特定立體角的向量組。

定義
維空間的向量
（對應極正弦定義中的\Omega），右側：長方體（對應極正弦定義中的\Pi）。在更高維度上的解釋是相似的]]
令（）為維空間（）的非零歐幾里德向量，該向量從平行多胞形的頂點定向，形成平行多胞形的邊。則頂角的極正弦為：。
: \begin{align}
\mathbf{v}_1 &= (v_{11}, v_{12}, \dots, v_{1n})^T \\
\mathbf{v}_2 &= (v_{21}, v_{22}, \dots, v_{2n})^T \\
& \,\,\,\vdots \\
\mathbf{v}_n &= (v_{n1}, v_{n2}, \dots, v_{nn})^T\,, \\
\end{align}
而分母是所有頂角邊長的積：
:\Pi = \prod_{i=1}^n \|\mathbf{v}_i\|
它等於維超矩形的超體積，其邊等於向量長度，而非向量本身。另見埃里克森的著作。

平行多胞形有如「壓扁的超矩形」，因此它的超體積比超矩形小，這意味著（可參閱附圖的3D範例）：
:|\Omega| \leq \Pi \implies \frac{\Pi} \leq 1 \implies -1 \leq \operatorname{psin}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n) \leq 1\,,

對於一般的正弦，只有在所有向量相互正交的情況下才能達到其中任一個極值。

在的情況下，極正弦是兩個向量之間角度的普通正弦。

維角
如果一個維角有一個以該角之頂點為中心的維球體，則從該角之頂點射出的條射線會與該維球體交於個點，這些個點在維球體表面的維球面空間中形成單純形。此時將這個球面空間中單純形的極正弦定義為該單純形對應之對角的極正弦值。對於維球面的單純形，如果頂點和之間的邊長為，則其在高斯曲率之空間中的極正弦值由下式給出：

參見
*三角函數
*三角恆等式
*立體角

註釋
參考文獻
外部連結
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