哈代—拉馬努金定理

在數學上，哈代—拉馬努金定理是由拉馬努金證明、由哈代檢驗的公式。公式斷言，若\omega(n)是正整數n彼此相異的質因數個數，那麼其為\log{\log{(n)}}。

換句話說，絕大多數的正整數相異的質因數個數大略為\log{\log{(n)}}。

精確描述
一個更精確的敘述是，若\psi(n)是任意實數函數，且在n趨近於無限時會趨近於無限的話，那麼以下關係式對幾乎所有的整數成立（也就是例外的比例無限小）：

:|\omega(n)-\log\log n|

更傳統的關係式如下：
:|\omega(n)-\log\log n|

換句話說，若g(x)是不大於x且是上式例外的正整數n的個數的話，那麼在x趨近於無限時，g(x)/x趨近於零。

歷史
圖蘭·帕爾在1934年找到了上式的簡單證明，他用圖蘭篩法證明了下式：（）

:\sum_{n \le x} | \omega(n) - \log\log x|^2 \ll x \log\log x \ .

推廣
若將\omega(n)換成\Omega(n)，即正整數n質因數總數、將重複質因數重複計算，類似的結果仍然成立。

另外，這定理後來被推廣為爱尔特希-卡茨定理；而爱尔特希-卡茨定理定理指出\omega(n)的數值基本呈現正態分布。

參考資料
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