篩法基本引理

在數論上，篩法基本引理（fundamental lemma of sieve theory）指的是數個對於把篩法套用到特定問題上的過程進行系統化結果。與
寫道：

賈盟（Diamond）與認為「基本引理」一詞源自。

共通符號
此條目中，我們使用以下的符號：

• A是一個有X個正整數的集合，而A_d則是由可被d除盡的正整數組成的子集。
• w(d)及R_d是A與d的函數，這些函數可用以估計A中可被d除盡的元素的個數。而我們有以下的公式：

: \left\vert A_d \right\vert = \frac{w(d)}{d} X + R_d .
:因此，w(d)/d表示能被d除盡的元素的大致密度；而R_d則表示剩餘項或誤差。

• P是一個質數的集合，而P(z)則是所有不大於\leq z的質數的乘積。
• S(A, P, z)是A中不為任何P中不大於\leq z的質數除盡的元素的數量。
• \kappa是一個常數，又稱作篩選密度（sifting density）。，其他的公式表示則可見於與、及與伊萬尼茲等人的著作。

我們首先作出如下假設：

• w(d)是一個積性函數。
• 對於某個常數C及任意滿足2\leq \eta\leq \xi的實數\eta及\xi而言，篩選密度\kappa滿足如次條件：\prod_{\eta \le p \le \xi} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) ^{-1}

對於A、X、z及u而言，我們有以下等式。此公式中的u\geq 1由使用者自行決定其數值：
:S(A,P,z) = X \prod_{p \le z, p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(u^{-u/2})\} + O\left(\sum_{d \le z^u, d|P(z)} |R_d| \right).
在實際應用中，可對u進行選取已得到最佳的結果。在這篩法中，其數值取決於容斥原理的使用層級數。

塞爾伯格篩法基本引理
以下公式表示取自與的結果；另一個公式表示可見於賈盟（Diamond）與的結果。

我們首先作出如下假設：

• w(d)是一個積性函數。
• 對於某個常數C及任意滿足2\leq \eta\leq \xi的實數\eta及\xi而言，篩選密度\kappa滿足如次條件： \qquad \sum_{\eta \le p \le \xi} \frac{w(p) \ln p}{p}
• 對於一些小且固定的c及所有的p而言，\frac{w(p)}{p} 。
• 對於所有無平方因子、且質因數位於P中的d而言，|R(d)|\leq w(d)。

使用上述的假定，塞爾伯格篩法基本引理跟組合篩法基本引理幾乎相同。設u = \ln{X} /\ln{z}，則有如次結論：

:S(A,P,z) = X \prod_{p \le z,\ p \in P} \left( 1 - \frac{w(p)}{p} \right) \{1 + O(e^{-u/2})\}.

應當注意的是，在我們的處理中，u不再是一個獨立參數，而是一個取決於z的參數。

另外值得注意的是，此處的誤差項弱於上述組合篩法基本引理的誤差項；而與對此寫道說：「因此一直以來許多文獻假定的『塞爾伯格篩法總是比布朗篩法還要好』的這說法不全然為真。」

註解