幾何學中，三角形的偽內切圓是內切於三角形兩條邊和其外接圓的一個圓。與頂點A的兩條邊相切的偽內切圓稱為「關於點A的偽內切圓」、「A所對的偽內切圓」或「A-偽內切圓」。
關於三角形的每個頂點都有唯一的偽內切圓。
存在性及唯一性的證明
關於點A的旁切圓是唯一的。
定義\Phi為以下兩個幾何變換的複合：先以A點為圓心，\sqrt{AB \cdot AC}為半徑作反演變換；再關於角A的平分線作對稱變換。由於反演變換和對稱變換都為雙射且變換前後保留交點的性質，\Phi也有對應的性質。
A點的旁切圓經\Phi變換後的圖像為內切於AB、AC，以及ABC外接圓的一個圓，即關於點A的偽內切圓。因此關於點A的偽內切圓唯一確定。類似地，關於點B及點C的偽切圓也唯一確定。
其他性質
半徑
以下公式說明了三角形內切圓半徑 r 和A-偽內切圓半徑 \rho_A 的關係：
r = \rho_A \cdot \cos^2{\frac{\alpha}{2}} 其中 \alpha 是角A的大小。
與偽內切圓在三角形邊上的切點有關的性質
三角形內心I為偽內切圓與三角形其中兩邊的切點D和E組成線段的中點。
T_AD和T_AE與圓(ABC)除T_A的交點分別為弧\overset{\frown}{AB}和\overset{\frown}{AC}的中點。
跟偽內切圓與三角形外接圓切點有關的圓
T_ABDI 和 T_ACEI 為圓內接四邊形。
T_AI與圓(ABC)除T_A的交點為弧\overset{\frown}{BAC}的中點。
參考資料
參看
- 三角學
- 內切圓
外部鏈結
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