自伴算子

在数学、尤其是泛函分析中，向量空间 V 上的自伴算子（）是一类特殊的线性算子（自同态），其伴随算子是其自身。根据不同的需要，可以讨论 V 为拓扑向量空间、赋范向量空间、巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况，使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质，一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理。

若 V 是具有规范正交基的有限维复向量空间，其上自伴算子在该基下的矩阵是埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明，对于一个算子 A ，总能找到 V 上的规范正交基使得 A 在该基下的矩阵是一个对角矩阵，且这些对角元都是实数。

无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似：一个算子是自伴的，当且仅当其酉等价于一个实值乘法算子。不过，黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的，从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上，故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分，而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。

自伴算子在量子力学中也有重要地位。在中，位置、动量、角动量和自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱（能级）具有重要的物理意义的同时，哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成，而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。

量子力學
在量子力學裏，自伴算子，又稱為自伴算符，或厄米算符（），是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符\hat{O}\,\!和其伴隨算符\hat{O}^{\dagger}\,\!，假設\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\! ，則稱\hat{O}\,\!為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可觀察量
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量O\,\!的期望值是實值的：
:\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!。

對於任意量子態|\psi\rangle\,\!，這關係都成立；
:\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!。

根據伴隨算符的定義，假設\hat{O}^{\dagger}\,\!是\hat{O}\,\!的伴隨算符，則\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!。因此，
:\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符\hat{O}\,\!，都是厄米算符。

可觀察量，像位置，動量，角動量，和自旋，都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符\hat{H}\,\!是一個很重要的自伴算符，表達為
: \hat{H} \psi = - \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi + V \psi \,\!；

其中，\psi\,\!是粒子的波函數，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是質量，V\,\!是位勢。

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量，一個可觀察量。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態|\psi\rangle\,\!的波函數為\psi(x)\,\!，
:\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^}{\partial x}\psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^\psi\ dx=\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle
\,\!。

對於任意量子態|\psi\rangle\,\!，\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻
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