關係範疇

在數學上，關係範疇（記做Rel）指的是以集合為物件、以二元關係為態射的範疇。

在這個範疇中，其態射R: A \longrightarrow B是A與B之間的關係，因此R \subseteq A \times B

這範疇中兩個關係R: A \longrightarrow B及S: C \longrightarrow D的合成由下式給出：

(a, c) \in S \circ R，若且唯若對於一些b \in B而言，(a, b) \in R且(b, c) \in S

關係範疇又被一些人稱為「集合間對應的範疇」（category of correspondences of sets）。

性質
集合範疇是關係範疇的（寬）子範疇，其中集合範疇的態射f: X \longrightarrow Y對應至以(x, y) \in F \iff f(x) = y定義的關係F \subseteq X \times Y。

關係範疇中的態射為關係，而其相對應的、從其映至關係範疇的態射有著反向的箭頭，因此這態射是個，因此關係範疇包含其反範疇且是個。

由逆關係作代表所建構的對合為關係範疇提供了一個短劍結構，因此關係範疇是一個。

關係範疇有兩個做為並映至自己的函子，其中一個是二元關係R \subseteq A \times B，另一個則是其轉置R^T \subseteq B \times A，而這兩個二元關係的兩種合成關係分別為R R^T及R^T R，其中第一個合成關係R R^T給出了A上的；而第二個合成關係R^T R則給出B上的齊次關係。由於這些函子是映至關係範疇自身的同態函子之故，因此這些同態函子是內部同態函子；而由於這些內部同態函子之故，因此關係範疇是個，且是個。

關係範疇可以的形式，由集合範疇得到，在這種狀況下，其有著以對應至冪集的函子為協變函子的單子。

一個第一眼看上去可能令人有點驚訝的事實是，關係範疇當中的乘法是以不相交聯集（而非如集合範疇一般的笛卡爾積）定義的，他們自與F: A \longrightarrow B出發，他們注意到了派生函子Rel(A,B) \longrightarrow Rel(FA,FB)的性質，像例如說這函子保存了合成、逆轉跟相交等運算，而他們之後以這樣的性質建構了寓範疇的公理。

關係作為物件
David Rydeheard與Rod Burstall認為關係範疇有著作為齊次關係物件，一個例子是A是一個集合而R \subseteq A \times A是一個二元關係；而這個範疇的態射是集合間保持關係的函數，在S \subseteq B \times B是第二個關係且f: A \longrightarrow B是一個使得xRy \implies f(x)Sf(y),成立的函數，那f是一個態射。

Adamek、Herrlich與Strecker三氏進一步發展了這想法，他們將物件(A,R)與(B,S)給設成（集合，關係）。

參考資料
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