超黃金比例

{{Infobox number
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數表—

| name=超黃金比例
| nav=no
| number=
| value=\psi\approx1.46557...
| root of=x^3-x^2-1 = 0
| symbol=\psi
| other name=超黄金分割-{}-比
超黄金分割率
| type=無理數
| OEIS=A092526
| 連分數=[1; 2, 6, 1, 3, 5, 4, 22, 1, 1, 4, 1, 2, 84, 1, …]
| algebraic=\frac{1 + \sqrt[3]{\frac{29 + 3\sqrt{93}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{29 - 3\sqrt{93}}{2}}}{3}
| basedata =
}}
在數學中，超黃金比例又稱超黄金分割率是指比值為
:\psi = \frac{1 + \sqrt[3]{\frac{29 + 3\sqrt{93}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{29 - 3\sqrt{93}}{2}}}{3}
的比例。這個值是一元三次方程x^3 = x^2+1的唯一一個實數根，一般以希臘字母\psi（psi）表示。其亦可以由雙曲餘弦表達：
: \psi = \frac{2}{3} \cosh{\left(\tfrac{\cosh^{-1}\left(\frac{29}{2}\right)}{3}\right)} + \frac{1}{3}。
其在十进制中的近似值約為。其倒數為：
:\frac1{\psi} = \sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{\frac{31}{27}}}2}+\sqrt[3]{\frac{1-\sqrt{\frac{31}{27}}}2} = \tfrac{2}{\sqrt{3}} \sinh\left(\tfrac{1}{3} \sinh^{-1}\!\left( \tfrac{3 \sqrt{3}}{2} \right)\right)\approx0.6823 2780 3828 0193 2736 9483 7397 …
此外，超黃金比例是第四小的皮索特數。

超黃金數列
超黃金數列又稱為數列，是連續項之間的比率趨近於超黃金比例的數列。，而斐波那契数列第n項的值則是表示用1×1和1×2的方塊鋪滿1×n矩形的方法數。超黃金比例滿足ψ−1 = ψ−2，而黃金比例則是滿足φ−1 = φ−1。在斐波那契兔子問題中，每對兔子可以在出生後的第二個周期開始每個周期都繁殖一次；而在中，每對牛隻可以在出生後的第三個周期開始每個周期都繁殖一次

另一個例子是，黃金比例和超黃金比例都是皮索特數。超黃金比例的為\dfrac{1 + \left(\tfrac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right) \sqrt[3]{\tfrac{29+3\sqrt{93}}{2}} + \left(\tfrac{1 \mp i\sqrt{3}}{2} \right) \sqrt[3]{\tfrac{29+3\sqrt{93}}{2}}}{3}，絕對值為\tfrac{1}{\sqrt{\psi}} \approx 0.8260313，與\psi^3 - \psi^2 - 1 =0的根乘積為1。

超黃金矩形
相交的模式出現]]
超黃金矩形是邊長比為超黃金比例ψ=\frac{1 + \sqrt[3]{\frac{29 + 3\sqrt{93}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{29 - 3\sqrt{93}}{2}}}{3}的矩形。當從超黃金矩形的短側移除一個正方形，剩餘的矩形邊長比將變為ψ2:1。這個矩形可以分割成邊長比為ψ:1和1:ψ的兩個矩形，這兩個矩形為方向差90度的兩個超黃金矩形，其對角線長為原始矩形的短邊長除以\sqrt{\psi}的值。第四象限也是超黃金矩形，其對角線長為原始矩形短邊的\sqrt{\psi}倍。

參見
*黃金比例
*塑膠數

註釋
參考文獻