斯蒂尔吉斯常数

斯蒂尔吉斯常数

Wikipedia · 2021-09-23 维基百科 👁 1 阅读

斯蒂尔吉斯常数，记为\gamma_k，是出现在黎曼ζ函数的罗朗级数展开式中的数：

:\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n

斯蒂尔吉斯常数由以下的极限给出：

: \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left(\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}

还有一种积分表示法，可由柯西积分公式推出：

:\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.

第零个常数\gamma_0 = \gamma = 0.577...称为欧拉-马歇罗尼常数。

最初的几个值为：

:::

更一般地，我们可以定义出现在赫尔维茨ζ函数的罗朗级数展开式中的斯蒂尔吉斯常数\gamma_k(q)：

:\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n

在这里，q是一个复数，Re(q)>0。由于赫尔维茨ζ函数是黎曼ζ函数的一个推广，我们有

:\gamma_n(1)=\gamma_n\;

参见

参考文献
*