倒数

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数（）又稱乘法逆元（）、乘法逆-{}-元素，在数学中，是与其原数相乘为1的数；即某数x的倒数，是一個与x相乘的积为1的数，记为\frac{1}{x}或x^{-1}。

在抽象代数中，倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”，也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。

汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都存在倒数：只要用某个数自身除1（也就是说用1除以某个数），即可得到它的倒数。用数学记号表示的话：
:一个非零的复数（实数）a的倒数定义为使得a \times b = b \times a = 1成立的复数（实数）b，记作b = \frac{1}{a} = a^{-1}

:例如， \frac{3}{8}的倒数是 \frac {8}{3}，因为 \frac{3}{8} \times \frac {8}{3}= 1

每个复数（实数）只有一个倒数。一般来说，并不是对所有的代数结构中的乘法运算，每个元素都存在其乘法逆，如对矩阵乘法来说，秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆，或者在环Z_{39}中，元素3和18也沒有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元，而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子，或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。

負倒數
乘積為-1的兩個實數互為負倒數，實數x的負倒數記為-\frac{1}{x}或-x^{-1}。一個實數的倒數和其負倒數是相反數，而0沒有倒數或負倒數。

参考资料
参见

• 乘法
• 除法
• 双曲线

注释