埃倫費斯特定理

在量子力學裏，埃倫費斯特定理（）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為
:\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle ；

其中，A 是某個量子算符，\langle A\rangle 是它的期望值，H 是哈密頓算符，t 是時間，\hbar 是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 i\hbar ，再取 i\hbar 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

薛丁格繪景下的推導
假設，一個物理系統的量子態為 \Phi(x,\ t) ，則算符 A 的期望值對於時間的導數為
:\begin{align} \frac{d}{dt}\langle A\rangle & = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx \\
& = \int \left( \frac{\partial \Phi^}{\partial t} \right) A\Phi~dx+ \int \Phi^ \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx+\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\
& = \int \left( \frac{\partial \Phi^}{\partial t} \right) A\Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^ A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\ \end{align}

薛丁格方程表明哈密頓算符 H 與時間 t 的關係為
:H\Phi= i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t} 。

其共軛為
:(H\Phi)^= - i\hbar \frac{\partial \Phi^}{\partial t} 。

因為哈密頓算符是厄米算符，H^*=H ，所以，
:(H\Phi)^=\Phi^H^=\Phi^H 。

將這三個方程式代入 \frac{d}{dt}\langle A\rangle 的方程式，則可得到
:\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle 。

所以，埃倫費斯特定理成立：
:\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle 。

有時算符 A 不隨時間變化，則 \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle 等於零。

海森堡繪景下的推導
海森堡繪景下的推導更為直接。有海森堡運動方程式
: \frac{\partial}{\partial t}A = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar}[A, H]
直接取等式兩邊的算子的期望值可得
:\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle
等式左邊的態向量不含時，因此可以把 \frac{d}{dt} 一項移到狄拉克符號外，因此有
:\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle

實例
使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

守恆的哈密頓量
考慮哈密頓算符 H ：
:\frac{d}{dt}\langle H\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [H,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle=\left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle 。

假若，哈密頓量顯性地不含時間，\frac{\partial H}{\partial t}=0 ，則
:\langle H\rangle=H_0 ，

哈密頓量是個常數H_0 。

位置的期望值對於時間的導數
試想一個質量為 m 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

: H(x,\ p,\ t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,\ t) ;

其中，x 為位置，p 是動量，V 是位勢。

應用埃倫費斯特定理，
:\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle [x,\ p^2]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle xpp - ppx\rangle 。

由於 xpp - ppx=i2\hbar p ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：
:\frac{d}{dt}\langle x\rangle =\frac{1}{m} \langle p\rangle= \langle v\rangle 。

這樣，可以得到動量 p 的期望值。

動量的期望值對於時間的導數
應用埃倫費斯特定理，
: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle 。

由於 p 與自己互相交換，所以，[p,\ p^2]=0 。又在坐標空間裏，動量算符 p = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} 不含時間： \frac{\partial p}{\partial t} = 0 。所以，
: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ V]\rangle 。

將泊松括號展開，
: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^ V\frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx - \int \Phi^\frac{\partial}{\partial x} \left(V\Phi\right)~dx 。

使用乘法定則，
: \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \left\langle -\ \frac{\partial}{\partial x} V\right\rangle = \langle F\rangle 。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 F 的期望值。

經典極限
取經典極限，\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle} ，則可得到一組完全的量子運動方程式：
:\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\langle v\rangle ，
: \frac{d}{dt}\langle p\rangle= -\ \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle} 。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：
:\frac{dx}{dt}=v ，
: \frac{dp}{dt}= -\ \frac{\partial V(x)}{\partial x} 。

取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記 V\,'(x) 為 \frac{\partial V(x)}{\partial x} 。設定 \langle x\rangle=x_0 。泰勒展開 V\,'(x) 於 x_0 ：
:V\,'(x)=V\,'(x_0)+(x-x_0)V\,(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2 V\,*(x_0)+\ \dots 。

由於 \langle x-x_0\rangle=0 ，\langle (x-x_0)^2\rangle=\sigma_x^2 ，

:\left\langle\frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx V\,'(x_0)+\frac{1}{2}\ \sigma_x^2\ V\,*(x_0) 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：
#一個是量子態對於位置的不可確定性。
#另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

參閱
*維里定理

參考文獻