雞爪定理

歐氏幾何中，雞爪定理（或內心/旁心引理，）描述三角形的頂點、內心、旁心、外接圓的位置關係。其斷言，三角形某頂點B所對的旁心I_B、另兩個頂點A、C、內心I四點共圓，且其圓心（II_B中點）位於三角形的外接圓\odot ABC上。此定理的構形常於奧數幾何題出現。

敍述
設\triangle ABC為任意三角形，I為其內心，\angle ABC的角平分線BI交外接圓\odot ABC於D。定理斷言，D到A, C, I三點等远，即DA = DC = DI。

等價的說法有：
*過A, C, I三點的圓，圓心位於D。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。
*諸三角形AID, CID, ACD皆為等腰，D為其頂角。

還有第四點I_B也到D等遠，就是B所對的旁心。在以D為圓心的圓上，I_B與I互為對徑點，即D為II_B的中點。

證明
由於同弧所對的圆周角相等，有
: \angle IBA = \angle DCA, \quad \angle IBC = \angle DAC.

又BI為角B的平分線，有
: \angle DCA = \angle DAC,
故DA = DC 得證（等圓周角對等弦）。

最後計角有：
:
\begin{align}
\angle DIA = {} & 180^\circ - \angle AIB \\
= {} & \angle IAB + \angle IBA \\
= {} & \angle IAC + \angle DAC \\
= {} & \angle IAD. \\
\end{align}

所以三角形DIA有兩底角相等，證畢DA = DI。

應用於求作三角形
定理適用於解決以下問題：已知某三角形的一個頂點B、內心I和外心O，求作該三角形。作法如下：

#以O為圓心，OB為半徑，作圓。此為三角形的外接圓。
#作直線BI，與外接圓交於（B以外的另一點）D。
#以D為圓心，DI為半徑作圓，定理保證所得的圓過另兩個頂點A, C。
#所以，該圓與外接圓的交點A, C即為所求。
然而，並非在平面上任意取三點作為B, I, O皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形，則問題可能出在IB與\odot O相切，也可能在於最後兩圓相切或外離。而且，若B, I, O三點無任何限制，則即使作法確實給出三角形，I亦不必為其內心，可能是旁心。該些情況下，不存在三角形以B為頂點，I為內心、O為外心。（對於固定的B, O兩點，若要存在此種三角形，則I必須位於以B為尖點關於\odot O作成的心臟線圍成的區域中。）

其他構作三角形的問題，如給定頂點、內心、九點圓心，求作三角形，有部分情況可化歸為前述問題解決，但一般而言無法尺規作出。，謂三叉引理，或，謂三葉草定理。英文又稱「延齡草定理」，亦是以某種三葉植物命名。

定理亦有其他名稱並非來自該形狀，如「內心/旁心引理」（）。

參考文獻