格爾豐德-施奈德常數

{{Infobox number
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希爾伯特數
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超越數
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格爾豐德-施奈德常數即為2的\sqrt{2}次方，其值为：
:2^{\sqrt{2}}=2.6651441...
羅季翁·庫兹明在1930年證明此數字是超越数。
1934年蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德和德國數學家西奧多·施耐德分別獨立證明了更一般的格尔丰德-施奈德定理，因此证明格爾豐德-施奈德常數為超越数，也回答了希爾伯特第七問題。

它的平方根
:\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=1.6325269...

也是一个超越数。在無理數的無理數次方為有理數這個命題中，它可用來提供一個經典、簡捷的證明。

無理數的無理數次方為有理數
儘管已知 \sqrt{2}^\sqrt{2} 是超越數，自然也就會是無理數。但在不知道它是無理數的情況下，仍可以證明此事。

命題：存在 a, b 是無理數，使得 a^b為有理數。

證明：

已知\sqrt{2}是無理數，考慮 \sqrt{2}^\sqrt{2}，它有可能是有理數，也可能是無理數。

• 若 \sqrt{2}^\sqrt{2} 是有理數，即得證。
• 若 \sqrt{2}^\sqrt{2} 是無理數，則

:\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}\ \times\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{2}=2.
為有理數，得證。

希尔伯特第七问题
希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数，则ab总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是2^{\sqrt{2}}。

1919年，他发表了一个关于数论的演讲，谈到了三个猜想：黎曼猜想、费马大定理和2^{\sqrt{2}}的超越性。他对观众说，在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。但这个数的超越性在1934年得出证明，当时希尔伯特还活着。

参见

• e的π次方
• 希尔伯特数

参考文献