{{Infobox number
| name=e的π次方
| nav=no
| is integer = no
| number=e^\pi
| symbol=e^\pi
| value=23.140692632779269
e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i},
e^{\pi}= (-1)^{\tfrac{1}{i}} = \sqrt[i]{-1}
e^{\pi}= (i)^{(-2i)}
e^{\pi}= {{1}\over{(i^i)^2}}
| OEIS=A039661
| 發現者=
| other name=格爾豐德常數
| type=無理數
超越數
| define=
| root of=x^i+1 = 0
| 連分數=[23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108 ...]
| basedata =
}}
e^\pi \,又稱格爾豐德常數（）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到：
: e^\pi \; = \; (e^{i\pi})^{-i} \; = \;(-1)^{-i}
其中是虚数单位。由于是代数数，但肯定不是有理数，因此是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是 2^{\sqrt{2}}，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值 \pi + e^\pi\,也是无理数。
数值
在十进制中，大约为
:
它的值可以用以下迭代来求出。定义
:k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}
其中\scriptstyle k_0\,=\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
则
:\left(\frac{4}{k_N}\right)^{2^{1-N}}
迅速收敛于e^\pi。
几何中的独特之处
n维球体的体积由以下公式给出：
:V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.
所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：
:V_{2n}=\frac{\pi^{n}}{n!}.
把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：
:\sum_{n=0}^\infty V_{2n} = e^\pi. \,
相似或相關的常數
拉馬努金常數
:e^{\pi{\sqrt{163}}} = (\text{格 爾 豐 德 常 數 })^{\sqrt{163}}
即所謂的拉馬努金常數，是黑格纳数的一個應用，其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。
同 一樣， 非常接近整數：
:e^{\pi \sqrt{163}} = ... \approx 640\,320^3+744
雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現，但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一個預測它非常接近整數，因而以他為名。
這種非常近似於 的巧合，可以用 的及q展開來表示。
:j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640\,320)^3
且
:(-640\,320)^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)
而 是誤差項。
:{\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right) = -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}
這解釋了為何 比 小了 0.000 000 000 000 75 。（這個證明的細節，可以參考黑格纳数）。
數
由 A018938 所給出 的十進位表示為
:e^{\pi} - \pi = ...
儘管這個數非常接近正整數 20 ，但目前沒有關於這個現象的解釋；因此，被認為是一種数学巧合。
數
由 A059850 給出的 十進位表示為：
:
\pi^{e} = ...
目前還不知此數是否是超越數。
須注意的是，根據 格尔丰德-施奈德定理，只有在 是代數數，而 是非有理數（， 都是复数，且 , ）的情況下， 才為超越數。
之所以可以證明 是超越數，其原因在於複數的指數形式，因為 可以被視為複數 的模，而根據 的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。
則沒有如此的等式，所以，儘管 和 都是超越數，但我們不能由此說 是超越數。
數
如同 ，我們仍不知 是否是超越性質的。甚至，目前還沒有證明說它是無理數：
由 A059850 給出的 十進位表示為：
:
e^{\pi} - \pi^{e} = ...
數
:i^{i} = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = (e^{\pi})^{-1/2}
由給出的 十進位表示為：
:
i^{i} = ...
因為上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的：
是代數數，但同時不是有理數，由此 是超越數。
参见
- 格爾豐德-施奈德常數
- 格尔丰德-施奈德定理
- 希尔伯特第七问题
参考文献
外部链接
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