尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下：

: P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}

其中

: P_{cr}, 尤拉临界負载（柱上的纵向压缩負载），
: E ，柱體材料的杨氏模數，
: I ，柱體横截面的最小面积惯性矩，
: L, 柱體的无支撑长度，
: K ,柱體有效长度係數

这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲（挫曲）的最大負载。对于小于临界負载的應力，柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力，柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力，使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载，横向形變量会增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。

大約在1900年， J. B. Johnson 提出在低細長比下，應該使用不同的方程式。

模型假设
在推导尤拉公式時所做的假设如下：

柱體材料均质且具等向性。

柱體受到的压缩負载仅有轴向。

柱子没有初始应力。

柱子的重量被忽略。

柱子最初是直的（轴向負载没有偏移）。

销接头无摩擦（无力矩约束），若是固定端則無刚性（无旋转偏转）。

柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。

與弯曲應力相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。

細長比很高，与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常長。

该柱仅因挫曲而失效，即柱中的压应力不超过降伏强度\sigma_y （见图1）：

#: \sigma = \frac{P_{cr}}{A} = \frac{\pi^2E}{(L_e/r)^2}

其中：

: \frac{L_e}{r}, 细长比,
: L_e = KL ，有效长度，
: r = \sqrt{\operatorname{I} \over \operatorname{A}} ,迴转半径,
: I, 面积惯性矩,
: A, 横截面面積。

对于细长柱體，临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下，坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力，即它會在挫曲之前就先降伏。

数学推导
銷接端點的柱體
以下模型适用于两端為简支承的柱子（ K = 1 ）。

首先，我们要注意銷接端没有反作用力，所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性（所以应力应该在相同的方向）和力矩平衡（所以应力应该在相反的方向）得到。

使用圖 3 右側的自由体图，并將点 x 的力矩加總：

: \Sigma M = 0 \Rightarrow M(x) + Pw = 0

其中 w 是横向變形。

根据尤拉-伯努利樑理论，樑的挠度与其弯矩的關係式为：

: M = -EI\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2} ,

让\lambda^2 = \frac{P}{EI} ， 所以：

: EI\frac{d^2w}{dx^2} + Pw = 0

: \frac{d^2w}{dx^2} + \lambda^2 w = 0

我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。

该方程的通解为： w(x) = A \cos(\lambda x) + B \sin(\lambda x) ， 這裡的 A 和 B 常数由边界条件所定義，它们是：

• 左端點固定\rightarrow w(0) = 0 \rightarrow A = 0
• 右端點固定\rightarrow w(l) = 0 \rightarrow B \sin(\lambda l) = 0

如果B = 0 ，没有弯矩存在，我们得到了平凡解w(x) = 0 。

但是，从其他解 \sin(\lambda l) = 0 我们得到 \lambda_n l = n\pi ， 其中n = 0, 1, 2, \ldots

再加上前述的 \lambda^2 = \frac{P}{EI} ，各种临界負载是：

: P_{n} = \frac{n^2 \pi^2 EI}{l^2} ， 为了n = 0, 1, 2, \ldots

并取决于 n 的值 ，产生不同的挫曲模態 ，如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。

理论上任何挫曲模態都有可能出現，但在缓慢施加負载的情况下，可能只会产生第一种模态形状。

因此，銷端柱的尤拉临界負载為：

: P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{l^2}

得到柱的第一模态挫曲形状为：

: w(x) = B \sin \left({\pi \over l} x\right) .

通常的做法
樑軸向的微分方程：

: \frac{d^4 w}{dx^4} + \frac{P}{EI}\frac{d^2 w}{dx^2} = \frac{q}{EI}

对于仅具有轴向負载的柱，横向負载 q(x) 消失，再代入 \lambda^2 = \frac{P}{EI} 可得到：

: \frac{d^4 w}{dx^4} + \lambda^2\frac{d^2 w}{dx^2} = 0

这是一个齐次四阶微分方程，其通解为

: w(x) = A\sin(\lambda x) + B\cos(\lambda x) + Cx + D

四个常数 A, B, C, D 由兩端边界条件所决定的 w(x) 來得到。有以下三种情况：

銷接端 (Pinned end)：

#: w = 0和 M = 0 \rightarrow {d^2w \over dx^2} = 0

固定端 (Fixed end)：

#: w = 0和{dw \over dx} = 0

自由端 (Free end)：

#: M = 0 \rightarrow {d^2w \over dx^2} = 0和V = 0 \rightarrow {d^3w \over dx^3} + \lambda^2{dw \over dx} = 0

对于这些边界条件的每一种组合，都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题，我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。

參見

• 挫曲
• 弯矩
• 弯曲 (力學)
• 尤拉-伯努利樑理论

参考資料