卢卡斯数

卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。

但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同。

卢卡斯数可以定义如下：

:
L_n = L(n)=
\begin{cases}
2 & \mbox{if } n = 0; \\
1 & \mbox{if } n = 1; \\
L(n-1)+L(n-2) & \mbox{if } n > 1. \\
\end{cases}

前几个卢卡斯数是：
:2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...

延伸到负数
用Ln-2 = Ln - Ln-1的公式，我们可以把卢卡斯数延伸到负数。这样我们得到以下数列：

(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)

一般地，我们有
*L_{-n}=(-1)^nL_n.\!

与斐波那契数的关系
卢卡斯数与斐波那契数有以下关系：

• \,L_n = F_{n-1}+F_{n+1}
• \,L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n，因此，当n\,趋近于无穷大时，L_n \over F_n\,趋近于\sqrt{5}\, 。
• \,F_{2n} = L_n F_n
• \,F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}

通项公式为：
:L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, ,

其中\varphi是黄金分割比。

同余关系
如果n是素数，则Ln被n除余1，但某些合数也具有这个性质。

卢卡斯素数
卢卡斯素数就是既是卢卡斯数又是素数的整数。最小的几个卢卡斯素数为：

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ...

除了n = 0、4、8、16的情况外，如果Ln是素数，则n是素数。但是，它的逆命题不成立。
參考
*卢卡斯数列
参考文献
Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas numbers*. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.

• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

外部链接
*[http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html MathWorld]
*[https://web.archive.org/web/20051126021243/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html Dr Ron Knott]
*[https://web.archive.org/web/20051030021553/http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html 卢卡斯数与黄金分割]
*[https://web.archive.org/web/20070216024906/http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp 卢卡斯数计算器]