垂足三角形

在幾何學上，垂足三角形（）是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。

具體地說，考慮一個三角形ABC，選定一個異於頂點A, B, C的點P。通過P對三角形的三邊做垂直線，將這些垂直線與\overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{AB}的交點分別命名為L, M, N，則三角形LMN是一個垂足三角形。

性質
如果ABC不是鈍角三角形，則其垂足三角形LMN的內角角度分別為180^\circ-2A、180^\circ-2B、180^\circ-2C。
若P點位於三角形ABC的特殊中心上，則有一些特殊情況：

*若P是ABC的垂心，則LMN是垂心三角形（）。
*若P是ABC的內心，則L, M, N是ABC之內切圓的三個切點。
*若P是ABC的外心，則LMN是中點三角形。

若P點以三角形ABC為基準的三線坐標是p : q : r，則其垂足三角形的頂點L, M, N坐標為：

:L = 0 : q + p\cos{C} : r + p\cos{B}

:M = p + q\cos{C} : 0 : r + q\cos{A}

:N = p + r\cos{B} : q + r\cos{A} : 0

相關定理
西姆松定理
若P點位於ABC的外接圓上，則L, M, N共線，反之亦然。這條線被稱為垂足線（），又稱為西姆松線（）。

卡諾定理
A, B, C, L, M, N六點滿足以下等式：
:\overline{AN}^2+\overline{BL}^2+\overline{CM}^2=\overline{NB}^2+\overline{LC}^2+\overline{MA}^2

反垂足三角形
過A作一條垂直於\overline{PA}的直線，過B作一條垂直於\overline{PB}的直線，過C作一條垂直於\overline{PC}的直線，則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形（）。在這個反垂足三角形中，設與A相對的頂點為A^\prime，與B相對的頂點為B^\prime，與C相對的頂點為C^\prime。

ABC是A^\prime B^\prime C^\prime在P點上的垂足三角形，這也是其名稱的由來。

若P點以三角形ABC為基準的三線坐標是p : q : r，則反垂足三角形的頂點A^\prime, B^\prime, C^\prime坐標為：
:A^\prime = -(q + p\cos{C})(r + p\cos{B}) : (r + p\cos{B})(p + q\cos{C}) : (q + p\cos{C})(p + r\cos{B})

:B^\prime = (r + q\cos{A})(q + p\cos{C}) : -(r + q\cos{A})(p + q\cos{C}) : (p + q\cos{C})(q + r\cos{A})

:C^\prime = (q + r\cos{A})(r + p\cos{B}) : (p + r\cos{B})(r + q\cos{A}) : -(p + r\cos{B})(q + r\cos{A})

一個特殊的例子是，如果P點位於內心，則該反垂足三角形以ABC的三個旁心為頂點。

參考資料