在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。
在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。
一維阱定義
一維有限深方形阱的阱寬為L\,\!，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為x= - L/2\,\!與x=L/2\,\!。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為V_0\,\!。阱外位勢保持為V_0\,\!。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數\psi\,\!也不同，標記為：
:\psi=\psi_1\,\!：阱左邊，x（阱外區域），
:\psi=\psi_2\,\!：阱內， - L/2（阱內區域），
:\psi=\psi_3\,\!：阱右邊，x>L/2\,\!（阱外區域）。
這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：
: - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi\,\!；(1)
其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是粒子質量，x\,\!是粒子位置，V(x)\,\!是位勢，E\,\!是能量。
阱內區域
在阱內，位勢V(x) = 0\,\!，方程簡化為：
: - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 \,\!。(2)
設定波數k\,\!為
:k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\,\!。(3)
代入方程(2)：
:\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = - k^2 \psi_2 \,\!。
這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數\psi_2(x)\,\!是正弦函數與餘弦函數的線性組合：
:\psi_2 = A \sin(kx) + B \cos(kx)\quad\,\!；
其中，A\,\!與B\,\!都是複值常數，由邊界條件而決定。
阱外區域
在阱外，位勢V(x) =V_0>0\,\!，薛丁格方程為：
: - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} =( E - V_0) \psi_1 \,\!。
視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。
束縛態
假若，粒子的能量小於位勢：E ，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（）。設定
:\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}\,\!。(4)
代入方程(1)：
:\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1 \,\!。
一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是
:\psi_1 = Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!，
:\psi_3 = He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!；
其中，F\,\!，G\,\!，H\,\!，I\,\!都是常數。
從正確的邊界條件，可以找到常數A\,\!，B\,\!，F\,\!，G\,\!，H\,\!，I\,\!的值。
束縛態的波函數
薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。
總結前面導引出的結果，波函數\psi\,\!的形式為：
:\psi_1=Fe^{ - \alpha x}+ Ge^{ \alpha x}\,\!：阱左邊，x（阱外區域），
:\psi_2=A \sin(kx) + B \cos(kx)\,\!：阱內， - L/2（阱內區域），
:\psi_3=He^{ - \alpha x}+ Ie^{ \alpha x}\,\!：阱右邊，x>L/2\,\!（阱外區域）。
當x\,\!趨向負無窮，包含F\,\!的項目趨向無窮。類似地，當x\,\!趨向無窮，包含I\,\!的項目趨向無窮。可是，波函數在任何x\,\!都必須是有限值。因此，必須設定F=I=0\,\!。阱外區域的波函數變為
:\psi_1(x) = Ge^{ \alpha x} \,\!，
:\psi_3(x) = He^{- \alpha x} \,\!。
在阱左邊，隨著x\,\!越小，波函數\psi_1(x)\,\!呈指數遞減。而在阱右邊，隨著x\,\!越大，波函數\psi_3(x)\,\!呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。
由於有限深方形阱對稱於x=0\,\!，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。
奇的波函數
假若，波函數\psi\,\!是奇函數，則
:\psi_2=A \sin(kx)\,\!，
:G= - H\,\!，
:\psi_1( - x) = - \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!，
由於整個波函數\psi \,\!必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：
:\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!
:\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2} \,\!
將波函數的公式代入：
: G e^{-\alpha L / 2} = - A \sin(k L / 2)\,\!，(5)
: \alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \cos(k L / 2)\,\!。(6)
方程(6)除以方程(5)，可以得到：
: \alpha = - k \cot(k L / 2)\,\!。
從方程(3)與(4)，可以求得常數\alpha\,\!與波數k\,\!的關係：
:\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：
:k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \sin^2(k L / 2)\,\!。
這也造成了離散的能量。
偶的波函數
假若，波函數\psi\,\!是偶函數，則
:\psi_2=A \cos(kx)\,\!，
:G= H\,\!，
:\psi_1( - x) = \psi_3(x) ,\qquad\qquad x\ge 0\,\!，
由於整個波函數\psi \,\!必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：
:\psi_1( - L/2) = \psi_2( - L/2) \,\!
:\left. \frac{d\psi_1}{dx}\right|_{x= - L/2} =\left. \frac{d\psi_2}{dx}\right|_{x= - L/2} \,\!
將波函數的公式代入：
: G e^{-\alpha L / 2} = A \cos(k L / 2)\,\!，(7)
: \alpha G e^{- \alpha L / 2} = k A \sin(k L / 2)\,\!。(8)
方程(8)除以方程(7)，可以得到：
: \alpha = k \tan(k L / 2)\,\!。
從方程(3)與(4)，可以求得常數\alpha\,\!與波數k\,\!的關係：
:\alpha^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} - k^2\,\!。
所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：
:k^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \cos^2(k L / 2)\,\!。
這也造成了離散的能量。
散射態
假若，一個粒子的能量大於位勢，E > V_0 \,\!，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，E > V_0 \,\!，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於V_0\,\!的任意值。波數\kappa\,\!，用方程式表達為\kappa=\frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar}\,\!，也不是離散量。代入方程(1)：
:\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_1 \,\!，
:\frac{d^2 \psi_3}{d x^2} = - \kappa^2 \psi_3 \,\!。
解答形式與阱內區域的解答形式相同：
:\psi_1 = C_1 \sin(\kappa x) + D_1 \cos(\kappa x)\,\!，
:\psi_3 = C_3 \sin(\kappa x) + D_3 \cos(\kappa x)\,\!。
其中，C_1\,\!、D_1\,\!、C_3\,\!、D_3\,\!，都是常數。
參閱
*自由粒子
*無限深方形阱
*有限位勢壘
*球對稱位勢
*Delta位勢阱
*Delta位勢壘
*量子穿隧效應
- 盒中氣體
參考文獻
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