在最优化理論中的對偶（duality）或對偶性原則（duality principle）是指最佳化問題可以用兩種觀點來看待的理論，兩種觀點分別是「原始問題」（primal problem）及「對偶問題」（dual problem）。對偶問題的解提供了原始問題（假設是最小化問題）的下限，不過一般而言，原始問題和對偶問題的最佳解不相同。兩個最佳解的差距為對偶間隙。若是凸優化問題，對偶間隙也稱為是卡鲁什-库恩-塔克条件。
對偶問題
一般而言「對偶問題」是指「拉格朗日對偶問題」（Lagrangian dual problem），不過也有其他的對偶問題，例如和。拉格朗日對偶問題是指在最小化問題上加上拉格朗日乘数，也就是在目標函數上加上對應限制條件的非負拉格朗日乘数，再求解可將原目標函數最小的原始變數值。此解會得到以拉格朗日乘数的函數表示的原始變數，稱為是「對偶變數」（dual variables），因此，新的問題就是要衍生對偶變數的限制下（包括非負的限制條件），找到可以使目標函數最大化的對偶變數。
一般而言，給定二個的分隔 \left(X,X^\right)及\left(Y,Y^\right)，以及函數f: X \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}，可以定義原始問題為找到\hat{x}使得f(\hat{x}) = \inf_{x \in X} f(x). \,
換句話說，若\hat{x}存在，f(\hat{x})是函數f的最小极值（minimum），也可以得到函數的最大下界（infimum）。
若有限制條件，可以整合到函數f中，方式是令f = f + I_\text{constraints}，其中I_{\mathrm{constraints}}是在X上的適當函數，在限制條件上有最小值0，可以證明\inf_{x \in X} \tilde{f}(x) = \inf_{x \ \mathrm{constrained}} f(x)。後者的條件很明顯，但不一定很方便可以符合示性函数（也就是說，滿足限制條件的 x ，I_{\mathrm{constraints}}(x) = 0 ，在其他情形，I_{\mathrm{constraints}}(x) = \infty ）。因此可以將\tilde{f}延伸為擾動函數F: X \times Y \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}使得F(x,0) = \tilde{f}(x)。
對偶間隙就是不等式
:\sup_{y^ \in Y^} -F^(0,y^) \le \inf_{x \in X} F(x,0), \,
左側和右側的差。
其中F^*是二個變數的凸共轭，而\sup是上确界
線性規劃
线性规划問題是指损失函数和約束都是線性關係的最优化問題。原始問題中，目標函數是n個變數的線性組合，問題有m個約束，每一個都有上限，上限由n個變數的線性組合表示。其目的是要在滿足限制條件的情形下，最大化目標函數的值。其解是由n個值表示的向量，可以讓目標函數有最大值。
在對偶問題中，目標函數是m個值的線性組合，這些是原始問題中m個限制條件的上下限。有n個對偶限制條件，每一個的下限都是由m個對偶變數的線性組合所表示。
原始問題和對偶問題的關係
針對線性的最佳化問題，在原始問題中每一個符合限制條件的次佳點，都有一個方向（或方向的子空间），可以往目標函數增加的方向移動。若往這類的方向移動，稱為除去和一個或多個限制之間的鬆弛量（slack）。候選解中不可行的值即為超過一個或多個限制的值。
在對偶問題中，會將對偶向量和限制條件相乘，這些限制條件會決定原始問題中限制條件的位置。在對偶問題中變動對偶向量類似在原始問題中調整上限。要找到最小的上限。也就是說，要將對偶向量最小化，以移除限制的候選位置和實際最佳解之間的鬆弛量（slack）。對偶向量中的不可行值是指哪些太低的值。這會讓候選解的一個或多個限制條件落在排除實際最佳解的位置。
在线性规划中探討對偶性的方程式中，會對上述直覺有型式化的敘述。
非線性規劃
非线性规划中的限制條件不一定是線性的，不過許多线性规划的原則還是適用。
為了確保可以簡單的識別非线性规划中的全域最大值，問題一般會要求函數要是凸函數，而且有緊緻的lower level sets。
由此可以看出卡鲁什-库恩-塔克条件的重要性。卡鲁什-库恩-塔克条件可以提供非線性規劃問題中識別局部最佳值的必要條件。也有一些額外的必要條件（約束規範，constraint qualifications）可以用來判斷可能有「最佳解」（是局部最佳解，但不一定是全域最佳解）的方式。
強拉格朗日原則：拉格朗日對偶
考慮以下形式的非線性規劃：
:\begin{align}
\text{minimize } &f_0(x) \\
\text{subject to } &f_i(x) \leq 0,\ i \in \left \{1,\ldots,m \right \} \\
&h_i(x) = 0,\ i \in \left \{1,\ldots,p \right \}
\end{align}
其定義域\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^n有非空的內部。其拉格朗日函數\Lambda: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^p \to \mathbb{R} 定義為
: \Lambda(x,\lambda,\nu) = f_0(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i f_i(x) + \sum_{i=1}^p \nu_i h_i(x).
向量\lambda和\nu是有關此問題的「對偶變數」（dual variables）或拉格朗日乘數向量（Lagrange multiplier vectors）。拉格朗日對偶函數（Lagrange dual function）g:\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^p \to \mathbb{R} 定義如下
: g(\lambda,\nu) = \inf_{x\in\mathcal{D}} \Lambda(x,\lambda,\nu) = \inf_{x\in\mathcal{D}} \left ( f_0(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i f_i(x) + \sum_{i=1}^p \nu_i h_i(x) \right ).
對偶函數g是凹函數，就算初始問題不是凸也會如此，因為是仿射函數的點狀最大下界。對偶函數提供初始問題最佳值p^的下界：針對任意\lambda \geq 0 及任意\nu，可以得到g(\lambda,\nu) \leq p^ 。
若滿足約束規範（例如），且原問題是凸，則可以得到d^ = \max_{\lambda \ge 0, \nu} g(\lambda,\nu) = \inf f_0 = p^。
凸問題
針對有不等式限制的凸最小化問題
: \begin{align}
&\underset{x}{\operatorname{minimize}}& & f(x) \\
&\operatorname{subject\;to}
& &g_i(x) \leq 0, \quad i = 1,\ldots,m
\end{align}
拉格朗日對偶問題為
: \begin{align}
&\underset{u}{\operatorname{maximize}}& & \inf_x \left(f(x) + \sum_{j=1}^m u_j g_j(x)\right) \\
&\operatorname{subject\;to}
& &u_i \geq 0, \quad i = 1,\ldots,m
\end{align}
其中目標函數是拉格朗日對偶函數。假設函數f and g_1, \ldots, g_m 連續可微，最大下界出現在梯度等於零的位置。問題
: \begin{align}
&\underset{x, u}{\operatorname{maximize}}& & f(x) + \sum_{j=1}^m u_j g_j(x) \\
&\operatorname{subject\;to}
& & \nabla f(x) + \sum_{j=1}^m u_j \, \nabla g_j(x) = 0 \\
&&&u_i \geq 0, \quad i = 1,\ldots,m
\end{align}
稱為Wolfe對偶問題。此問題用計算的方式處理可能會很困難，因為目標函數在聯合變數(u,x)上不是凹。而且，一般而言，等式的限制條件\nabla f(x) + \sum_{j=1}^m u_j \, \nabla g_j(x)也是非線性的，因此Wolfe對偶問題一般而言會不會是凸最佳化問題。不論如何，會成立。
歷史
依照喬治·伯納德·丹齊格所述，在丹齊格提出了線性規劃問題後，约翰·冯·诺伊曼就提出了線性規劃的對偶性定理的猜想。冯·诺伊曼注意到他使用了來自其博弈论中的資訊，並且猜想兩人零和的矩陣博弈和線性規劃等效。嚴謹的證明最早是由阿尔伯特·塔克和其團隊發表（丹齊格在Nering和塔克1993年著作中的前言）
相關條目
- 凸共轭
- 对偶 (数学)
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腳註
參考資料
書籍
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論文
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- [http://www.civilized.com/files/duality.pdf Duality in Linear Programming] Gary D. Knott
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