渐近线

在解析几何和微分学中，曲线的渐近线（）是一条使得当x或y坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。

渐近线分为三种类型：水平、垂直和倾斜。对于由函数y=f(x)的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着x趋于+ \infty或- \infty趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当x趋于+ \infty或- \infty时，函数的图接近该斜率。

更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數y=f \left(x \right)的圖形收斂，則漸近線為y=\lim_{x \to \infty} f \left(x \right)。

例解
例如，直线y=\frac{b}{a}x是双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1的渐近线，因为双曲线上的点M到直线y=\frac{b}{a}x的距离MQ；当MN无限趋近于0时，MQ也无限趋近于0。所以按照定义，直线y=\frac{b}{a}x是该双曲线的渐近线。同理，直线y=-\frac{b}{a}x也是该双曲线的渐近线。

对于F\left(x,y \right)=0来说，如果当x \rightarrow a时，有y \rightarrow \pm\infty（左右極限不一定相等），就把x=a叫做F \left(x,y \right)=0的垂直渐近线；如果当x \rightarrow \infty时，有y \rightarrow b，就把y=b叫做F \left(x,y \right)=0的水平渐近线。例如，y=3是曲线xy=3x+2的水平渐近线。

求法
依据
求渐近线，可以依据以下结论：

若极限\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a存在，且极限\lim_{x \to \infty} \left[f \left (x \right) -ax \right]=b也存在，那么曲线y=f \left(x \right)具有渐近线y=ax+b。
例子
例：求y=\frac{x^2}{1+x}的渐近线。

解：(1)x=-1为其垂直渐近线。

(2)\lim_{x \to \infty} \frac{f \left(x \right)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x}，即a=1；

\lim_{x \to \infty} \left[f \left(x \right) -ax \right]=\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x}=-1，即b=-1；

所以y=x-1也是其渐近线。

注释