能斯特-普朗克方程

能斯特-普朗克方程（）是一个用来描述带电荷的化学物质在流体中运动的方程。它拓展了菲克定律，可以描述粒子在扩散的同时因为静电力而相对于流体移动的情况。

此方程因瓦尔特·能斯特和马克斯·普朗克命名。

方程
它描述了同时受粒子浓度梯度和电场影响的粒子流通量：

: \frac{\partial c}{\partial t} = - \nabla \cdot J \quad | \quad J = -\left[ D \nabla c - u c + \frac{Dze}{k_\mathrm{B} T}c\left(\nabla \phi+\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \right]
: \iff\frac{\partial c}{\partial t} = \nabla \cdot \left[ D \nabla c - u c + \frac{Dze}{k_\mathrm{B} T}c\left(\nabla \phi+\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \right]

其中J是扩散通量密度， t是时间， D是化学物质的扩散率， c是物质的浓度， z是离子物质的化合价， e是元素电荷， kB是玻尔兹曼常数， T是温度 u 是流体的速度， \phi是电势， \mathbf A 是磁矢量势。

如果扩散粒子本身带电，它们就会受到电场的影响。因此，能斯特-普朗克方程可用于描述土壤中的离子交换动力学。

将时间导数设置为零，并将流体速度设置为零（仅离子在运动），

: J = -\left[ D \nabla c + \frac{Dze}{k_\mathrm{B} T}c\left(\nabla \phi+\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \right]

在静态电磁条件下，可得稳态能斯特-普朗克方程

: J = -\left[ D \nabla c + \frac{Dze}{k_B T}c(\nabla \phi) \right]

最后，以mol /（m 2 ·s）为单位，带入理想气体常数R，可获得更熟悉的方程形式：

: J = -D\left[ \nabla c + \frac{zF}{RT}c(\nabla \phi) \right]

其中F是等于NAe的法拉第常数。

引用