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Z轉換

Wikipedia · 2026-01-17 维基百科 👁 1 阅读

在數學和信号处理中，Z轉換（）把離散的實數或複數时间訊號從時域轉為复頻域（z域或z平面）表示。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。

历史
现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的和查德称其为“Z变换”。

后来发展并推广了改进或高级Z变换。

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。
从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

定義
像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

双边Z变换
双边Z轉換把离散時域信号x[n]轉為形式幂级数X(z)。

:X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

當中 n 是整數，z 是複數变量，其表示方式為
:z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,
其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为辐角（也叫相位角），用弧度表示。

单边Z变换
另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n]，单边Z变换定义为

:X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.

在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z−1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

地球物理学定义
地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z−1 的。例如，
因此，需要注意特定作者使用的定义。

逆Z变换
逆Z变换为

: x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz

其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

: x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega.

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

收敛域
收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

:ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right|

例1（收敛域不存在）
令 x[n] = (0.5)^n。在区间 (-\infty, \infty)上展开 x[n] 成为

:x[n] = \left \{\cdots, 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \} = \left \{\cdots, 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right\}.

观察上面的和

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \to \infty.

因此，没有一个 z 值可以满足这个条件。

例2（因果的收敛域）
令 x[n] = 0.5^n u[n]\ （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

:x[n] = \left \{\cdots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \}.

观察这个和

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z−1| 0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

例3（非因果的收敛域）
令 x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

:x[n] = \left \{ \cdots, -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, 0, \cdots \right \}.

观察这个和

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = 1-\frac{1}{1 - 0.5^{-1}z} =\frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}

再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5−1z| x[n] 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域永远不会包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 |z| = 0 的收敛域。

在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，

:x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]

的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 nu[n] 和一个非因果项 −(0.75)nu[−n−1]。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。

如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 x[n]），则可以确定一个唯一的 x[n] 满足下列：

  • 稳定性
  • 因果性

如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

通过这种方法可以找到唯一的 x[n]。

性质
帕塞瓦尔定理
:\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v

初值定理：如果 x[n] 为因果的，那么
:x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).

终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则
:x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).

常见的Z变换对表
这里：

:u : n \mapsto u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n

是单位阶跃函数而

:\delta : n \mapsto \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}

是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

与傅里叶级数和傅里叶变换的关系
对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：

{{NumBlk|:|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n},|}}

也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：

:\underbrace{
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \overbrace{x(nT)}^{x[n]}\ e^{-j 2\pi f nT}
}_{\text{DTFT}} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f-k/T).

若T的單位是秒，\textstyle f的單位即為赫兹。比較兩個數列可得 \textstyle \omega = 2\pi fT 為，單位是radians per sample。數值ω=2π對應\textstyle f = \frac{1}{T} Hz. ，而且在替換 \textstyle f = \frac{\omega }{2\pi T},後，  可以表示為傅里叶变换X(•):

:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{X\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - \tfrac{k}{T}\right)}_{X\left(\frac{\omega - 2\pi k}{2\pi T}\right)}.

若數列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，這些函數也稱為频率响应，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函数表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的离散傅里叶变换來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性）

和拉氏变換的關係
双线性变换
双线性变换可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

:s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}

將一個拉氏域的函數H(s)轉換為Z域下的H(z)，或是

:z =\frac{2+sT}{2-sT}

從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的单位圆內。因此，傅立葉變換（在jΩ axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括jΩ軸。

线性常系数差分方程
线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

:\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}

上面等式两边可以同时除以 α0，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成

:y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}.

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p]、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。

传递函数
对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

:Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}

整理结果

:H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}.

零点和极点
由代数基本定理得知分子有 M 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为

:H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})}

其中 qk 为 k 阶零点，pk 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为。

此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

输出响应
如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 y[n]。在实际运用中，在分式分解 \frac{Y(z)}{z} 之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

参见

  • 高级Z变换
  • 双线性变换
  • 差分方程（遞迴關係式）
  • 离散卷积
  • 离散时间傅里叶变换
  • 有限脉冲响应
  • 形式幂级数
  • 拉普拉斯变换
  • 洛朗级数
  • 概率母函数
  • 星标变换
  • 札克变换

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参考文献
延伸阅读

  • Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
  • Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部链接
*

#数字信号处理 #變換

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