'（中文可譯「新手之夢**」）指的是錯誤方程式「(x+y)^n = x^n+y^n」，當中 n 是一個實數（通常是大於1的正整數）。初階學生經常誤以為括號外的次方可以直接分配給括號內的項。其實只要假設 n=2 就可以簡單發現方程式並不成立：透過乘法分配律，(x+y)^2=x^2+2xy+y^2。至於 n 值更大的方程式，則可以使用二项式定理計算正確答案。
在熱帶幾何的世界，加法取代了乘法，而极值取代了加法。在此情況下，「Freshman's dream」便是正確。
「Freshman's dream」也可代指另一項定理，(x+y)^p = x^p + y^p，當中 p 是質數，而 x 和 y 是在具有 p 特徵的交換環上的代數。由於 p 能夠整除首項和末項以外的二項式係數，使中間的所有項都等於零，所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案。
歷史與別名
1940年一篇有關模曲線的文章中，桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，特徵為2的體中的公式「(a+b)^2 = a^2 + b^2」，有可能破壞中一新生的代數觀念。此為可追溯的最早將「中一新生之夢」與正特徵體的二項式展開公式連繫起來的言論，自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解，其中1974年的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞。別名包括1998年莊·法黎課本中的「'」（中文可譯「中一新生之冪」）；又鑑於(x+y)^n可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「小孩的二項式定理**」（）。
至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用。
例子
- (1+4)^2 = 5^2 = 25，但1^2+4^2 = 17.
*(x^2+y^2)^\frac{1}{2}（即 \sqrt{x^2+y^2} ）在大多數情況下都不等於\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|。例如：\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5，而3+4=7。
質數定理
當 p 是質數，而 x 和 y 是在具有 p 特徵的交換環上的代數，那麼 (x+y)^p = x^p + y^p。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證：
第 n 個二項式係數為 \binom{p}{n} = \frac{p!}{n!(p-n)!}。
由於分子是 p 的階乘，所以可以被 p 整除。不過當 0 之時，n! 和 (p-n)! 都少於 p，因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數，因此第 n 個二項式係數可被 p 整除，交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式係數，因此可證 (x+y)^p = x^p + y^p。結果也證明 p 次方製造了自同态，又稱交換環的弗罗贝尼乌斯自同态。
參見
- 一年級生
- 素性测试
- 弗罗贝尼乌斯自同态
- 二年級之夢
參考文獻
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