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黃金菱形

Wikipedia · 2026-03-07 维基百科 👁 1 阅读

在幾何學中，黃金菱形是指兩對角線長度的比值呈黃金比例的菱形：
:{D\over d} = \varphi = {{1+\sqrt5}\over2} \approx 1.618~034
其中D為長對角線的長度、d為短對角線的長度。而由黃金矩形中取到的伐里農平行四邊形皆為黃金菱形。、菱形三十面體等。特別地，有另一種菱形也與黃金比例相關聯，即中的菱形，但不同之處在於，中的菱形是邊長與對角線的比為黃金比例，而黃金菱形則是指兩對角線比值為黃金比例的菱形。

性質
黃金菱形是菱形中的一個特例，其基本性質與菱形相同。以下討論黃金菱形的特別性質。
內角
黃金菱形的內角為：
*銳角：\alpha=2\arctan{1\over\varphi} ;
:\alpha=\arctan{{2\over\varphi}\over{1-({1\over\varphi})^2}}=\arctan{{2\over\varphi}\over{1\over\varphi}}=\arctan2\approx63.43495^\circ.
:
*鈍角：\beta=2\arctan\varphi=\pi-\arctan2\approx116.56505^\circ,
:這個角度值與正十二面體相同
邊長與對角線長
由於菱形也是一種平行四邊形，因此黃金菱形的邊長與對角線長可以用平行四邊形恆等式得出：

黃金菱形的邊長a與對角線長d具有以下關係：
*a={1\over2}\sqrt{d^2+(\varphi d)^2}={1\over2}\sqrt{1+\varphi^2}~d={{\sqrt{2+\varphi}}\over2}~d={1\over4}\sqrt{10+2\sqrt5}~d\approx0.95106~d~.~
:因此，可以用a來表示長對角線D與短對角線d：：
:A = (\sin(\arctan2))~a^2 = {2\over\sqrt5}~a^2 \approx 0.89443~a^2~.

在多面體中
黃金菱形出現在許多高對稱性的多面體中，例如菱形三十面體（截半二十面体的對偶多面體）、菱形六十面體（菱形三十面體的星形化體）。黃金菱形也構成了許多知名的多面體，例如、和菱形二十面體等。由全部皆由黃金菱形組成的凸多面體僅有兩種黃金菱形六面體、比林斯基十二面體、菱形二十面體以及菱形三十面體五種。而不考慮凹凸性（即允許非凸多面體），則有無限多種多面體可以包含黃金菱形。

File:Acute_golden_rhombohedron.png|銳角
File:Flat_golden_rhombohedron.png|鈍角黃金菱形六面體
File:Bilinski dodecahedron.png|
File:Rhombic icosahedron.svg|菱形二十面體
File:Rhombictriacontahedron.svg|菱形三十面體
File:Rhombic hexecontahedron.png|菱形六十面體

參見

  • 黄金三角形

參考文獻
外部連結

#黃金比例 #四邊形

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