根資料

在數學的代數群領域中，根資料（原文為法文donnée radicielle）是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群，根資料是比根系更精細的不變量，若假設連通性，則它決定了代數群的結構（至多差一個同構）。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述，於1970年出版。

定義
根資料是一組資料(X,\Phi,X^\vee, \Phi^\vee)，其中：

• X, X^\vee是有限秩自由阿貝爾群，其間有一個配對\langle , \rangle : X \times X^{\vee} \rightarrow \mathbf{Z}使兩者互為對偶。
• \Phi是X的有限子集，\Phi^\vee是X^\vee的有限子集，並存在其間的雙射\alpha \mapsto \alpha^{\vee}。
• 對任意\alpha \in \Phi，有\langle \alpha, \alpha^\vee \rangle = 2。
• 對任意\alpha \in \Phi，根鏡射x \mapsto x - \langle x,\alpha^{\vee} \rangle \alpha 導出根資料的自同構（換言之：它將\Phi一一映至\Phi，而在X^\vee上導出的對偶映射則將\Phi^\vee一一映至\Phi^\vee）。
• 類似地，對任意\alpha^\vee \in \Phi^\vee，餘根鏡射u \mapsto u - \langle \alpha,u \rangle \alpha^\vee 導出根資料的自同構。

\Phi的元素稱作該根資料的根，\Phi^\vee的元素稱為餘根。

若\Phi不包含任意根的兩倍，則稱此根資料為既約的。

設X_0 :=(\Phi^\vee)^\perp。若X_0 = \{0\}，稱此根資料為半單的，

從根資料到根系
對於根資料(X,\Phi,X^\vee, \Phi^\vee)，取Q為\Phi在X中生成的子群，並設V := Q \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}；利用對偶性，同樣可定義V^\vee。可證明X_0 \cap Q = \{0\}，X_0 + Q在X中的指數為有限的；因此V^\vee可視為V的對偶空間。可證明(V, \Phi)成為一個根系。

與約化代數群的關係
設G是域K上的約化代數群，並具有在K上分裂的極大環面T。定義相應的根資料\Phi(T,B) =(X,\Delta,X_*, \Delta^\vee)為

• X^* := \mathrm{Hom}(T,\mathbb{G}_m)（極大環面的特徵標）
• X_* := \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, T)（極大環面的餘特徵標，或者說是其中的單參數子群）
• \Delta是資料(G,T)的根。
• \Delta^\vee是相應的餘根。

代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之，給定任一組根資料，存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系及丹金圖精確，因為它不僅刻劃了群的李代數結構，還刻劃了群的中心。

對偶性
給定任一根資料(X, \Psi, X^\vee, \Psi^\vee)，藉著將X, X^\vee對換，將\Psi,\Psi^\vee對換，可以得到新的根資料，稱為其對偶。

若G是代數封閉域K上的連通、約化代數群，則根資料的對偶決定了複數域 \mathbb{C}上唯一的連通、約化、分裂代數群LG，稱為G的郎蘭茲對偶群。

文獻
*M. Demazure, Exp. XXI in [http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/3-3/index.html SGA 3 vol 3]
T. A. Springer, [http://www.ams.org/online_bks/pspum331/pspum331-ptI-1.pdf Reductive groups] ，in [http://www.ams.org/online_bks/pspum331/ Automorphic forms, representations, and L-functions* vol 1] ISBN 0-8218-3347-2