離心率向量

在航天動力學裏，一個圓錐曲線的離心率向量（）是一個向量，從焦點指向近拱點，量值等於軌道的離心率純量，是個無因次量。

計算
離心率向量 \mathbf{e} \, 是個大小等於軌道離心率 () 且方向指向近心點 (periapsis 或 pericenter) 的向量。對克卜勒軌道而言，它是個運動常數。在使用狀態向量 (\mathbf{r}, \mathbf{v}) 進行軌道測定或軌道決定 (orbit determination, OD) 時，它可以決定諸多與運動有關的軌道要素，如離心率 (e) (eccentricity) 及半長軸 (a) (semi-major axis)，並可指出近心點方向，以便計算近心點引數 \omega (argument of periapsis)、真近心點離角(真近點角) \nu (true anomaly)。在攝動或擾動 (perturbation) 分析時, 因為實際軌道上的攝動（非克卜勒）力將使密切 (osculating) 離心率向量不斷變化，故用來分析幾乎為圓形的軌道時非常有用。該向量可以由任何時間 t \!\,的軌道狀態向量（）中的速度向量 \mathbf{v} \!\,與位置向量 \mathbf{r} \!\,計算出來:

:\begin{align}
\mathbf{e} &= {\mathbf{v}\times\mathbf{h}\over{\mu}} - {\mathbf{r}\over{\left|\mathbf{r}\right|}} \\
&= \left ( {\mathbf{\left |v \right |}^2 \over {\mu} }- {1 \over{\left|\mathbf{r}\right|}} \right ) \mathbf{r} - {\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \over{\mu}} \mathbf{v} \\
\end{align}

第二個等式可以直接根據以下向量恆等式(運算並分別集結位置和速度分量後)推導出來:
:\mathbf{h} = \mathbf{r}\times\mathbf{v}
: \mathbf{v}\times \left ( \mathbf{r}\times \mathbf{v} \right ) = \left ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \right ) \mathbf{r} - \left ( \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \right ) \mathbf{v}
其中:
*\mathbf{r}\,\! 為 位置向量 (position vector)
*\mathbf{v}\,\! 為 速度向量 (velocity vector)
*\mathbf{h}\,\! 為 比角動量 (specific angular momentum vector) (\mathbf{h} = \mathbf{r}\times\mathbf{v})
*\mu\,\! 為 標準重力參數 (standard gravitational parameter)。

換另一種表示方法，離心率向量也可以由質量為m \!\,的物體的角動量\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v} (=m \, \mathbf{h})計算出來：
: \mathbf{e} = {\mathbf{v}\times\mathbf{L}\over{m\mu}} - {\mathbf{r}\over{\left|\mathbf{r}\right|}} 。

參閱
*離心率
*軌道
*拉普拉斯-龍格-冷次向量