在数学物理和共形場論中，时空的共形对称包括时空的龐加萊群。
共形群有15個自由度：
- 龐加萊群：10
- 特殊共形變換：4
- 位似变换：1
共形群
时空共形群有下面的表示：
: \begin{align} & M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu) \,, \\
&P_\mu \equiv-i\partial_\mu \,, \\
&D \equiv-ix_\mu\partial^\mu \,, \\
&K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu) \,, \end{align}
龐加萊群：M_{\mu\nu}是勞侖茲群的生成集合、P_\mu 生成平移
D 生成位似变换
K_\mu 生成特殊形转换
交換子
交換子是：
: \begin{align} &[D,K_\mu]= -iK_\mu \,, \\
&[D,P_\mu]= iP_\mu \,, \\
&[K_\mu,P_\nu]=2i (\eta_{\mu\nu}D-M_{\mu\nu}) \,, \\
&[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \,, \\
&[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \,, \\
&[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\,, \end{align}
舉例（特殊共形變換）：
:
x^\mu \to \frac{x^\mu-a^\mu x^2}{1 - 2a\cdot x + a^2 x^2}
:
\frac{{x}'^\mu}{{x'}^2}= \frac{x^\mu}{x^2} - a^\mu,
]]
应用
- 共形場論、场 (物理)
- 普遍性、相變
- 二维湍流、雷诺数
- 粒子物理學、N=4超对称杨-米尔斯的理论、世界面、弦理论
相關條目
- 共形映射
- （推广）
- 重整化群
参考文献
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