拉普拉斯-龍格-冷次向量

在經典力學裏，拉普拉斯-龍格-冷次向量（Laplace–Runge–Lenz vector；簡稱為LRL向量）主要是用來描述，當一個物體環繞著另外一個物體運動時，軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞著太陽公轉。在一個物理系統裏，假若兩個物體以萬有引力相互作用，則LRL向量必定是一個運動常數，不管在軌道的任何位置，計算出來的LRL向量都一樣；也就是說，LRL向量是一個保守量。更廣義地，在克卜勒問題裏，由於兩個物體以連心力相互作用，而連心力遵守平方反比定律，所以，LRL向量是一個保守量。

氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用．靜電力是一個標準的平方反比連心力。所以，氫原子內部的微觀運動是一個开普勒問題。在量子力學的發展初期，薛丁格還在思索他的薛丁格方程式的時候，沃夫岡·包立使用LRL向量，關鍵性地推導出氫原子的發射光譜。這結果給予物理學家很大的信心，量子力學理論是正確的。

在經典力學與量子力學裏，因為物理系統的某一種對稱性，會產生一個或多個對應的保守值。LRL向量也不例外。可是，它相對應的對稱性很特別；在數學裏，开普勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的三維球面；所以，整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱。

拉普拉斯-龍格-冷次向量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯、卡爾·龍格與威廉·楞次而命名。它又稱為拉普拉斯向量，龍格-冷次向量，或冷次向量。有趣的是，LRL向量並不是這三位先生發現的！這向量曾經被重複地發現過好幾次。它等價於天體力學中無因次的離心率向量。發展至今，在物理學裏，有許多各種各樣的LRL向量的推廣定義；牽涉到狹義相對論，或電磁場，甚至於不同類型的連心力。

概論
在一個物理系統裏，在任意保守的連心力的作用下（參閱保守力），一個粒子的運動，都會擁有至少四個運動常數；能量與角動量\mathbf{L}的三個分量皆為運動常數。粒子的軌道被限制於一個平面。粒子的動量\mathbf{p}和從力中心點的位置到粒子位置的位移\mathbf{r}（參閱圖1）。粒子的運動平面垂直於角動量\mathbf{L}。用方程式表示，
:\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=0。

LRL向量\mathbf{A}，也肯定地包含於粒子的運動平面。可是，只有當連心力遵守平方反比定律時，\mathbf{A}才是常數向量。

歷史
在重要的开普勒問題中，LRL向量\mathbf{A}是一個運動常數，時常用來描述天文軌道，例如行星的運動。然而，物理學家對它並不熟悉，這很可能是因為與動量與角動量相比，它的物理內涵比較難以被直覺地理解。因此，在過去三個世紀裏，它曾被重複地發現過許多次；並且推導出此案例與橢圓軌道離心率的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴约翰·白努利，他的恩師。白努利又更進一步地推導出LRL向量的方向。這樣，LRL向量得到了它的現代形式。所以，不容質疑地，LRL向量是赫爾曼和白努利共同發現的。

在那個世紀末尾，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯又重新地發現了LRL向量的保守性；稍微不同地，他的導引使用的是分析方法，而不是幾何方法。十九世紀中葉，威廉·哈密頓推導出全等的離心率向量 （參閱圖3）。二十世紀初，約西亞·吉布斯，應用向量分析，推導出同樣的向量。後來，卡爾·龍格將吉布斯的導引，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的，德文教科書內，成為其中的一個例題。1924年，威廉·楞次發表了一篇關於氫原子的舊量子論的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考。1926年，沃爾夫岡·包立用LRL向量與矩陣力學，而不是薛丁格方程式，來推導氫原子的光譜：
:\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}。

开普勒軌道導引
开普勒問題的運動軌道，其形狀與取向，可以用LRL向量決定。哈密頓-亞可比方程式的解答，採用任意一種坐標系統，最多只能求得d個運動常數。

克卜勒問題擁有三個自由度（d=3）與五個運動常數；克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統；採用球坐標或拋物線坐標，哈密頓－亞可比方程式都是可積分的；這論據，稍後會有詳細的解釋。最大超級可積分系統可以用對易關係來量子化，這論據，稍後也會又更明瞭的說明。

在微擾勢下的系統演化
，離心率e=0.667。假若，引性的連心力與平方反比定律稍微有點不同，類似的進動就會發生]]

只有在一個標準的平方反比連心力下，粒子的LRL向量\mathbf{A}是保守的。對於大多數的實際問題，例如行星運動，作用力並不會完全地遵守平方反比定律，而可能會含有別種微擾的連心力；稱其負值不定積分為微擾勢，標記為h(r)。在這種狀況下，LRL向量會緩慢地轉動於軌道平面，相應於軌道的慢進動。假若微擾勢h(r)為一個保守的連心勢，也就是說，總能量E與角動量\mathbf{L}都是保守的，則粒子的運動仍舊包含於一個垂直於\mathbf{L}的平面，大小A仍舊是保守的。微擾勢h(r)可以是任何形式的函數。但是，微擾值應該顯著地弱於主連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為
:h(r)=-\ \frac{h}{r^n}；

其中，h是微擾勢強度，整數n\le 2。

用正則微擾理論與作用量-角度座標，可以直接地推導出LRL向量的轉動率是。

:h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right)。

將此函數代入積分。再代入r與\theta的關係公式
:\frac{1}{r} =\frac{mk}{L^{2}}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)，

就可以計算出這非牛頓微擾所產生的近拱點進動率和雙重脈衝星數據。這與實驗數據一致的結果被認為是廣義相對論的強證。

帕松括號
角動量\mathbf{L}的三個分量L_i的帕松括號是
:\{ D_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}。

向量\mathbf{D}與自己的帕松括號跟總能量E的正負號有關；也就是說，跟是否總能量E是正值（在平方反比連心力作用下，產生開放的雙曲線軌道），或負值（在平方反比連心力作用下，產生閉合地橢圓軌道）有關。假若總能量E是正值，帕松括號是
:\{ D_{i}, D_{j}\} = -\sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}。

反之，假若總能量E是負值，帕松括號是
:\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}。

由於以下這三個帕松括號方程式，
:\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}，
:\{ D_{i}, L_{j}\}= \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}，
:\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}，

如果總能量E是負值，則可確定克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群SO(4)。

假若總能量E是負值，卡西米爾不變量C_1,\ C_2定義為
:C_{1} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^{2}}{2\left|E\right|}，
:C_{2} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0。

而且，卡西米爾不變量與\mathbf{D}的每一個分量的帕松括號皆為零：
:\{ C_{1}, D_{i} \}=\{ C_{2}, D_{i} \}=0。

還有，卡西米爾不變量與\mathbf{L}的每一個分量的帕松括號皆為零：
:\{ C_{1}, L_{i} \}=\{ C_{2}, L_{i} \}=0。

既然兩個向量\mathbf{D}與\mathbf{L}永遠是互相垂直的，C_{2}明顯地是零。可是，另外一個不變量C_1只跟質量m、力強度k、總能量E有關。不變量C_1分別與D_{i}，L_{i}的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變量C_1使得只用到量子力學的正則對易關係，就可以推導出類氫原子的原子能級，而不必用到的薛丁格方程式。

氫原子量子力學
帕松括號提供了一個簡易的方法來正則量子化經典系統。兩個量子算符的對易關係等於i\hbar乘以對應的經典變量。經過這量子化程序，計算克卜勒問題的卡西米爾算符C_{1}的本徵值，沃爾夫岡·包利成功地推導出類氫原子的原子能級（參閱圖6），以及其發射光譜，包利就研究出這重要的結果！

LRL向量\mathbf{A}的量子算符有一個奧妙之處，那就是動量算符與角動量算符並不對易。動量與角動量的叉積必須仔細地加以定義。

旋轉對稱性在四維空間
的大圓線的球極平面投影。每一個大圓線都與\eta_x-軸相交，後者垂直於頁面。投影是從北極（w單位向量）到\eta_x\eta_x-平面，如同這裏的虛黑線表示於品紅色速端曲線。在緯度\alpha的大圓線對應於離心率e=sin\ \alpha。在這圖裏的大圓線的顏色對應於它們在圖7的速端曲線。]]

克卜勒問題與四維旋轉對稱性SO(4)的關聯可以很容易地觀察出來。標記四維直角座標為(w,\ x,\ y,\ z)；其中，(x,\ y,\ z)代表三維位置向量\mathbf{r}的直角座標。三維動量\mathbf{p}與三維單位球的四維向量\boldsymbol\eta的關係為
:\boldsymbol\eta =\displaystyle \frac{p^{2} - p_{0}^{2}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{\hat{w}} + \frac{2 p_{0}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{p} ；

其中，\mathbf{\hat{w}}是新的w-軸的單位向量。

很簡單地，可以核對\boldsymbol\eta也是一個單位向量：
:\boldsymbol\eta=\hat{\boldsymbol\eta}。

從\mathbf{p}至\hat{\boldsymbol\eta}的映射有一個獨特唯一的逆反；例如，動量\mathbf{p}的x-軸分量是
:p_{x} = p_{0} \frac{\eta_{x}}{1 - \eta_{w}} 。

p_y與p_z也有類似的公式。換句話說，三維動量向量\mathbf{p}是四維單位向量\hat{\boldsymbol\eta}的球極平面投影，其比例因子為p_0。

選擇一個合適的直角座標，使z-軸與角動量\mathbf{L}同直線，使動量的速端曲線的取向如同圖7，圓心包含於y-軸。這樣，不失廣義性，就可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面，\mathbf{p}與\mathbf{L}互相垂直，而且，p_z=\eta_z=0。因此，只需要專注於三維向量\hat{\boldsymbol\eta}=(\eta_w,\ \eta_x,\ \eta_y)。圖7速端曲線的阿波羅尼奧斯圓家族對應於在三維單位球\boldsymbol\eta的大圓線家族。每一個大圓線與\eta_x相交於兩個交點\eta_x=\pm 1。這兩個交點相對於速端曲線圖的兩點p_x=\pm p_0。這兩個交點也是這些大圓線的共同交點。所以，這些大圓線的互相關係是一個環繞著\eta_x-軸的簡單旋轉（參閱圖8）。以\eta_x-軸為轉軸，每一個大圓線的位置是從\eta_x\eta_y-平面旋轉\alpha角。

取任意一個大圓線\eta_y最大值的一點，其坐標為(\eta_w,\ 0,\ \eta_y,\ 0)。那麼，
:p_x=0、
:p_y=p=(A+mk)/L、
:\eta_y = \cos(\alpha)=\frac{2p_0 p_y}{p_y^2+p_0^2}。

經過一番運算，代入p_0的值，可以得到
:\begin{align} \sin(\alpha) & =\frac{p_y^2 - p_0^2}{p_y^2+p_0^2} \\
& =\frac{(A+mk)^2 - 2m|E|L^2}{(A+mk)^2+2m|E|L^2} \\
\end{align} 。

給予一個束縛軌道，能量是負值的：
:\begin{align} \sin(\alpha) & =\frac{(A+mk)^2+2mEL^2}{(A+mk)^2 - 2mEL^2} \\
& =\frac{A}{mk}=e \\
\end{align} 。

所以，離心率e = \sin(\alpha)是緯度\alpha的正弦函數。

由於圖7的動量的速端曲線對應於\eta三維單位球的大圓線的球極平面投影，而這速端曲線家族的成員都擁有相同的能量。所以，這旋轉的對稱性使所有能量相同的軌道都能夠互相變換。但是，這旋轉正交於通常的三維旋轉，因為它涉及了第四維\eta_w。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於LRL向量的一個特徵。

採用橢圓柱坐標\chi,\ \psi,\ \phi來代替四維座標\boldsymbol\eta，克卜勒問題有一個精緻的作用量-角度座標解答：
:\eta_{w} = \mathrm{cn}\, \chi \ \mathrm{cn}\, \psi，
:\eta_{x} = \mathrm{sn}\, \chi \ \mathrm{dn}\, \psi \ \cos \phi，
:\eta_{y} = \mathrm{sn}\, \chi \ \mathrm{dn}\, \psi \ \sin \phi，
:\eta_{z} = \mathrm{dn}\, \chi \ \mathrm{sn}\, \psi；

其中，\mathrm{sn},\,\mathrm{cn},\,\mathrm{dn}是雅可比橢圓函數。

克卜勒問題LRL向量恆定的證明
以下幾種導引可以証明，在平方反比連心力下，LRL向量守恆。

直接證明
假設，一個連心力f(\mathbf{r})\hat{\mathbf{r}}作用於一個粒子。根據牛頓第二定律，運動方程式為
:\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=f(\mathbf{r}) \hat{\mathbf{r}}；

其中，f(\mathbf{r})是函數，\mathbf{r}為粒子的位置，\mathbf{p}是動量，t是時間。

由於在連心力下，角動量\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}是恆定的，
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{L} = 0。

所以，
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \mathbf{p}\times\mathbf{L} \right)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{L} = f(\mathbf{r}) \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{r} \times m \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) = f(\mathbf{r}) \frac{m}{r} \left[ \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) - r^{2} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right]。

代入以下恆等式：
:\mathbf{r}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}\right) =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^{2}\right)=r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}，

可以得到方程式，
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) =

• m f(\mathbf{r}) r^{2} \left[ \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathbf{r}}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right] = - m f(\mathbf{r}) r^{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right)。

代入平方反比連心力的方程式f(\mathbf{r})=\frac{ - k}{r^{2}}，
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) =
m k \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) =
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right)。

所以，在平方反比連心力下，\mathbf{A}是恆定的：
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) = 0。

哈密頓-雅可比方程式
哈密頓-雅可比方程式的可分性也可以用推導出LRL向量的恆定性。採用拋物線座標(\xi,\ \eta)，定義
:\xi =r+x、
:\eta =r - x；

其中，(x,\ y)是直角座標，r是軌道的徑向距離：
:r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}。

逆反過來，
:x = \frac{1}{2} \left( \xi - \eta \right)、
:y = \sqrt{\xi\eta}。

則克卜勒問題的哈密頓量為
:\begin{align}H & = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2-\frac{k}{r} \\
& =\frac{2\xi p_{\xi}^2}{m(\xi+\eta)}+\frac{2\eta p_{\eta}^2}{m(\xi+\eta)} - \frac{2k}{\xi+\eta} \\ \end{align} ；

其中，p_{\xi},\ p_{\eta}分別是廣義座標\xi,\ \eta的共軛動量。

由於克卜勒問題的勢函數只跟廣義座標有關，哈密頓量是個能量運動常數，H=E。稍加編排，可以得到
:2\xi p_{\xi}^2 - mk - mE\xi= - 2\eta p_{\eta}^2+mk+mE\eta。

這公式的左手邊與右手邊分別跟不同的廣義座標有關，所以，兩邊都相等於一個運動常數，標記為\Gamma：

:2\xi p_{\xi}^{2} - mk - mE\xi = - \Gamma、
:2\eta p_{\eta}^{2} - mk - mE\eta = \Gamma。

思考LRL向量的x分量，
:\begin{align} A_{x} & = p_{y}(xp_{y} - yp_{x}) - mk\frac{x}{r} \\
& = xp_{y}^2 - yp_{x}p_y - mk+m\eta\frac{k}{r} \\ \end{align} 。

代入能量方程式E=\frac{1}{2}mv^2 - \frac{k}{r}，則
:A_{x}=xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta - mk - mE\eta。

這公式右手邊，前三個項目，經過一番計算，可以得到
:xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta =\frac{m^2}{8}\dot{\eta}^2\frac{(\eta+\xi)^2}{\eta}=2\eta p_{\eta}^2。

所以，A_x也是運動常數：
:A_x=\Gamma。

諾特定理
LRL向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性，兩者之間的關係，可以用諾特定理來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明LRL向量是運動常數。諾特定理表明：在一個物理系統裏，對於廣義坐標q_{i}的微小變分\delta q_{i} = \epsilon g_{i}(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t)，假若，取至微小參數\epsilon的一階，拉格朗日量\mathcal{L}的變分\delta \mathcal{L}是
:\delta \mathcal{L} = \epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} G(\mathbf{q},\ t)，

則必存在保守量\Gamma滿足方程式
:\Gamma = - G+\sum_{i}g_i\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right)；

其中，g_i(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t)、G(\mathbf{q},\ t)都是函數。

更具體地，在一個克卜勒問題裏，試設定坐標x_{i}的微小變分為
:\delta x_i=\frac{\epsilon}{2} \left[ 2p_{i}x_{s} - x_{i}p_{s} - (\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})\delta_{is} \right]；

其中，i=1,\ 2,\ 3，x_i與p_i分別為位置\mathbf{r}與動量\mathbf{p}的i-軸分量，\delta_{is}是克羅內克爾δ，s是固定的下標。

由於克卜勒問題的拉格朗日量是
:\mathcal{L}=\sum_{i}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}_i\dot{x}_i\right)+\frac{k}{r}。

其運動方程式為
:m\ddot{x}_i+k\frac{x_i}{r^3}=0。

對應於坐標x_{i}的變分，速度\dot{x}_{i}的變分為
:\begin{align} \delta \dot{x}_{i} & = \frac{\epsilon}{2} \left[2\dot{p}_{i} x_{s}-x_{i}\dot{p}_{s}+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} - (\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{p}})\delta_{is} \right] \\
& = \frac{\epsilon}{2} \left[ - \frac{k}{r^3}x_i x_s+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} +\frac{k}{r}\delta_{is} \right] \\ \end{align} 。

拉格朗日量取至一階的變分是
:\begin{align} \delta \mathcal{L} & =\sum_{i}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}\delta x_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i\right) \\
& =\sum_{i}\left( - \frac{kx_i}{r^3}\delta x_i+m\dot{x}_i\delta\dot{x}_i\right) \\
\end{align} 。

代入\delta x_i和\delta\dot{x}_i的公式，經過一番繁瑣的運算，可以得到
:\delta\mathcal{L}=\epsilon mk\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{x_{s}}{r} \right)。

再代入保守量\Gamma的公式，則會得到
:\Gamma=p^{2} x_{s} - p_{s}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}\right) - \frac{mkx_{s}}{r}=\left[\mathbf{p}\times \mathbf{L} - mk\hat{\mathbf{r}}\right]_{s}；

而這正是LRL向量的s-軸分量A_s。

李變換
諾特定理精緻地推導出LRL向量的保守性。美中不足地，這導引有一個弱點：坐標變分\delta x_{i}不只涉及了位置\mathbf{r}，而且還涉及了動量\mathbf{p} 。假若，使用數學家索菲斯·李創建的方法來推導，可以除去這弱點。具體地，定義一個李變換，座標\mathbf{r}與時間t都按照比例變換，比例是參數\lambda的不同羃數：

:t \rightarrow \lambda^{3}t, \
\mathbf{r} \rightarrow \lambda^{2}\mathbf{r}, \
\mathbf{p} \rightarrow \frac{1}{\lambda}\mathbf{p} 。

這變換改變了角動量L的大小與能量E：

:L \rightarrow \lambda L, \ E \rightarrow \frac{1}{\lambda^{2}} E。

可是，仍舊保持乘積EL^2不變。所以，離心率e與LRL向量\mathbf{A}的大小不變。這可以從A^2的公式觀察出：

:A^2 = m^2 k^2 e^{2} = m^2 k^2 + 2 m E L^2。

由於半短軸與半長軸的取向不因整體的比例變換而改變，LRL向量\mathbf{A}的方向也會保持不變。在李變換下，克卜勒第三定律也仍舊成立：半長軸a與週期T形成常數{T^2}/{a^3}。

推廣至別種位勢和相對論
LRL向量可以推廣至其他狀況；可以用來辨認在其他狀況下的保守值。

假設，一個物理系統裏，存在著電場\mathbf{E}，保守的廣義LRL向量\mathcal{A}是
:\mathcal{A} = \mathbf{A} + \frac{mq}{2} \left[ \left( \mathbf{r} \times \mathbf{E} \right) \times \mathbf{r} \right] ；

其中，q是粒子的電荷量。

最廣義的LRL向量的形式可以表達為
:\mathcal{A}=\left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right) \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right)+\left[\xi - u \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right)\right] L^{2} \mathbf{\hat{r}}；

其中，u=\frac{1}{r}（參閱伯特蘭定理），\xi=\cos\theta，角\theta定義為
:\theta = L \int^{u} \frac{du}{\sqrt{m^{2} c^{2} \left(\gamma^{2} - 1 \right) - L^{2} u^{2}}}；

其中，\gamma是勞侖茲因子。

如同前面所提，計算\mathbf{L}與\mathcal{A}的叉積，可以得到一個保守的副法線向量\mathcal{B}：
:\mathcal{B}=\mathbf{L}\times\mathcal{A}。

綜和兩個向量成為一個保守的並矢張量\mathcal{W}：
:\mathcal{W} = \alpha \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} + \beta \, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}。

舉例說明，計算一個非相對論性，均向性諧振子的LRL向量。由於作用力是連心力，\mathbf{F}(r)= -k \mathbf{r}，力子的角動量是保守的，粒子的運動包含於一個平面。請注意，\mathbf{P}與\mathbf{L}不是一定互相垂直的。保守的並矢張量可以表達為一個簡單的形式：
:\mathcal{W} = \frac{1}{2m} \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} + \frac{k}{2} \, \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}。

其相應的LRL向量必較複雜
:\mathcal{A} = \frac{1}{\sqrt{mr^{2}\omega_{0} A - mr^{2}E + L^{2}}} \left\{ \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) + \left(mr\omega_{0} A - mrE \right) \mathbf{\hat{r}} \right\}；
其中，\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}是自然振率。

別種比例與表述
不同於動量與角動量，並沒有學術界一致認同的LRL向量定義；在科學文獻裏，存在有幾種不同的比例因子與符號。前面所述的定義是最普遍的定義。另外一種常見的定義，將\mathbf{A}除以常數mk；這樣，可以得到一個無因次的離心率向量 \mathbf{e}：

: \mathbf{e}=\frac{1}{mk} \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \mathbf{\hat{r}} = \frac{m}{k} \left(\mathbf{v} \times \mathbf{L}\right) - \mathbf{\hat{r}}；

其中，\mathbf{v}是速度。

離心率向量 \mathbf{e}的方向與\mathbf{A}相同，大小是軌道的離心率。

別種比例的版本也可能會用到。例如，將\mathbf{A}除以m：
: \mathbf{M} = \mathbf{v} \times \mathbf{L} - k\mathbf{\hat{r}}，

或者，將\mathbf{A}除以P_0：
:\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{P_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2m\left| E \right|}}
\left\{ \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}} \right\}。

\mathbf{D}與角動量\mathbf{L}的單位相同。在非常稀有的狀況，LRL向量的正負號會改變。這些，都不會影響它是運動常數的事實。

另外一個保守的向量是副法線向量\mathbf{B}。威廉·哈密頓曾經研究過這向量。

:\mathbf{B} = \mathbf{p} - \left(\frac{mk}{L^{2}r} \right) \ \left( \mathbf{L} \times \mathbf{r} \right)。

這保守的向量與橢圓的半短軸同直線。\mathbf{A}是\mathbf{B} 叉積\mathbf{L}（參閱圖4）。兩個向量\mathbf{A}與\mathbf{B}可以結合起來形成一個保守的並矢張量\mathcal{W} ：
:\mathcal{W} = \alpha \mathbf{A} \otimes \mathbf{A} + \beta \, \mathbf{B} \otimes \mathbf{B}；

其中，\alpha與\beta是任意比例常數，符號 \otimes表示張量積。展開這公式為

:\mathcal{W}_{ij} = \alpha A_{i} A_{j} + \beta B_{i} B_{j}。

由於兩個向量互相垂直，\mathbf{A}與\mathbf{B}可以視為保守的張量\mathcal{W}的主軸，也就是說，按比例的特徵向量。由於\mathbf{A}與\mathbf{B}都垂直於\mathbf{L}，張量\mathcal{W}垂直於角動量\mathbf{L}：

:\mathbf{L} \cdot \mathcal{W} =
\alpha \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} \right) \mathbf{A} + \beta \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{B} \right) \mathbf{B} = 0。

參閱
*二體問題
*伯特蘭定理
*量子力學
*航天動力學：軌道，離心率向量，軌道根數

參考文獻
*

外部連結
*加利福尼亞大學河濱分校物理網頁：