双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密鋪的模型，也称为骨牌密鋪（Domino tiling，多米诺密鋪）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。

介绍
若有 m \times n 平方格子G、以及 mn/2 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是

例如：

2 \times n 格子： Z_n是斐波那契数列
m = n = 2k = 0, 2, 4, \ldots ，可以使用普法夫值计算Z

若G是环面，则

\lim_{m,n\to \infty}Z(m, n) / (mn) = C / \pi。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。密鋪]]

阿兹特克钻石与北极圈现象
Z也依赖格子的边界（参看）。
File:Diamant azteque.svg|阿茲特克钻石（）密鋪，有1024个密鋪
File:Diamant azteque plein.svg|一个可能的密鋪
阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。

高度函数
一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

s(v) = \pm 1

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

ds(e=uv) = s(u) - s(v) = \pm 2

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

\delta(e) = 0, 1

若双体e存在，\delta(e) = 1，不然等于0。高度差函数是

dh(e) = h(u) - h(v) = (1+\delta(e))ds(e) = \pm 3

这个函数定义一个\Z^2 \to \Z 的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若\delta(e) 真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。的确，CKP定理说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

F = \log Z

共形场论
高斯自由场
双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场），高斯自由场是一种二维布朗运动。所以h(x) \to \phi(x)成为二维纯量场。

若G是一定的加权图，K的缩放极限是反全纯导数 \bar{\partial}。若

Kf = f(w+1) - f(w-1) + if(w+i) - if(w-i)= 0

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为KK^* = L是调和矩阵（harmonic matrix）。

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（\phi_x - \phi \phi_y = 0）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。

传播子
邻接矩阵的反函数K^{-1}(x, y)是一种格林函数。

D(x, y) = \langle h(x) h(y) \rangle

是传播子（量子场论）。可以表示这等于狄利克雷问题的核子

D(u, v) = -\frac{1}{2\pi} \log(v-u)

d_u D(u, v) = \frac{1}{2\pi} (\frac{du}{v-u} - \frac{d\bar{u}}{v-\bar{u}})

由于维克定理，

\langle h(x_1)\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum_{\text{对 }} D(x_{i_1}x_{i_2}) \ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})
相关条目
其他骨牌模型

*双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
*疊蓆，日本式的骨牌密铺
*肢解國際象棋盤問題
*王氏砖
*
*平面图

量子场论

*高斯自由场
*玻茨模型
*渗流理论
*相变、临界现象

Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）

参考文献
阅读

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