自避行走

自避行走（，簡稱SAW）是指在格點上進行且路徑不重複交會的隨機漫步，即行走過程中不能多次通過同一個頂點。

由於當前步驟的選擇取決於整條歷史路徑以避免自交，自避行走具備記憶性，因此不屬於馬爾可夫鏈。儘管其數學分析較為複雜，SAW模型在統計物理學、高分子化學及紐結理論等領域中皆有重要應用。

基本性質與計數
分形維數
自避行走的路徑在統計上呈現分形（碎形）特徵。其分形維數與空間維數d有關：

路徑計數
對於一般的格點，目前尚無封閉形式的精確公式可用於計算長度為n的自避行走總數c_n。已知路徑數量滿足次可加不等式c_{n+m} \le c_n c_m，因此對數序列\log c_n具有次可加性。由費克特引理（Fekete's Lemma）可知，必定存在極限

\mu = \lim_{n\to \infty} c_n^{1/n}.

常數\mu被稱為該格點的**'（）。

在特殊限制條件下，例如在m \times n矩形點陣中，若限制只能朝向對角終點移動（即方向只能選擇減少曼哈頓距離的方向，亦即僅能向右或向上移動），由於路徑方向單調，絕不回頭交會，故每一條路徑皆為自避行走。其總數可由多項式係數（即二項式係數）精確計算：

\binom{m + n}{m, n} = \binom{m + n}{m},

這代表在總共需要走過的m + n步中，任意選擇m步向右（其餘n步向上）的組合數。

普遍性與臨界現象
普遍性是臨界現象中的核心概念。當n \to \infty的時候，長度為n的自避行走總數c_n具有如下漸近形式：
c_n \approx A \cdot \mu^n n^{11/32}

其中：

\mu的具體數值取決於格點幾何結構。例如在蜂巢狀格點（hexagonal lattice）上，數學家斯坦尼斯拉夫·斯米爾諾夫（Stanislav Smirnov）證明了其精確值為\mu = \sqrt{2+\sqrt{2}}。
漸近式中的指數項\frac{11}{32}則具有普遍性，與具體的格點結構無關。

此外，理論物理學與機率論研究證明，平面格點上自避行走的縮放極限（scaling limit）可由參數\kappa = \frac{8}{3}的Schramm-Loewner演變（SLE）精確描述。

應用
自避行走模型在多個學科領域中有廣泛的應用：

高分子化學與聚合物物理：諾貝爾獎得主保羅·弗洛里（Paul Flory）率先將自避行走模型引進化學領域，用於模擬溶劑中聚合物鏈與高分子的空間構象與排除體積效應。
生物化學：用於研究蛋白質折疊過程與構象空間。
紐結理論：用於研究閉合高分子環狀結構的拓撲性質與紐結形成。
網絡理論與隨機過程：用於研究ER隨機圖及複雜網絡上的自避漫步，分析路徑長度分佈（如 Gompertz 分佈）等統計特性。

參見

參考文獻
延伸閱讀
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