波函数

系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裏， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。]]

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。

波函數 \Psi (\mathbf{r},t) 是一種複值函數，表示粒子在位置 \mathbf{r} 、時間 t 的機率幅，它的絕對值平方 |\Psi(\mathbf{r},t)|^2 是在位置 \mathbf{r} 、時間 t 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數\Psi (\mathbf{r},t)是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。

歷史
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。

薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。

1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相互作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。
:\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x 、
:\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p 。

波函数实质
量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的 |\mathfrak{J}(t)\rangle 矢量来描述。我们可以用任何不同的基来表示它。{{noteTag|1= 在位置空间它应该为f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x / \hbar}}} 。

我们也可以把 |\mathfrak{F}(t)\rangle 用能量本征函数的基展开（简单起见，假设谱是分立的）：

:
c_n(t)=\langle n \mid \mathfrak{\Im}(t)\rangle

（这里基矢量 |n\rangle 对应属于 \hat{H} 的第 n 个本征函数：c_n=\left\langle f_n \mid \Psi\right\rangle=\int f_n(x)^* \Psi(x, t) \mathrm{d} x) 。

波函数 \Psi 与 \Phi 和系数的集合 \left\{c_n\right\} ，所有这些所表示的都是同一个状态，包含完全一样的信息——它们仅是描述同一矢量的三种不同途径而已：

:
|\mathfrak{J}(t)\rangle \rightarrow \int \Psi(y, t) \delta(x-y) d y=\int \Phi(p, t) \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{i p x / \hbar} d p
=\sum c_n e^{-i E_n t / \hbar} \psi_n(x)

薛丁格方程式
在一維空間裏，運動於位勢 V(x) 的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式
: - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) ；

其中，m 是質量，\hbar 是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 \Psi(x,\,t) 的函數形式為
:\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar} ；

其中，E 是分離常數，稍加推導可以論定 E 就是能量，\psi_E(x) 是對應於 E 的本徵函數。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：
: - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) 。

波函数的概率诠释
波函数 \Psi (\mathbf{r},t) 是概率波。其模的平方 \vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\, 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

:\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1 。

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

波函数的本征值和本征态
在量子力学中，可观察量 A 以算符 \hat{A} 的形式出现。\hat{A} 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 \hat{\mathbf{p}} 的形式為
:\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla 。

可观察量 A 的本徵方程式為
:\hat{A}\psi=a\psi 。

对应的 a 称为算符 \hat{A} 的本徵值，\psi 称为算符 \hat{A} 的本徵態。假設對於 \hat{A} 的本徵態 \psi 再測量可观察量 A ，則得到的結果是本徵值 a 。

态叠加原理
假設對於某量子系統測量可觀察量 A ，而可觀察量 A 的本徵態 |a_1\rang 、|a_2\rang 分別擁有本徵值 a_1 、a_2 ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 |\psi\rang 也可以是這量子系統的量子態：
:|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang ；

其中， c_1 、c_2 分別為疊加態處於本徵態 |a_1\rang 、|a_2\rang 的機率幅。

假設对這疊加態系統测量可观察量 A ，則測量獲得數值是 a_{1} 或 a_{2} 的機率分別為 |c_{1}|^2 、|c_{2}|^2 ，期望值為
:\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2 。

定态
的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 \psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2} 。]]
在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 \hat{H} 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 \Psi (\mathbf{r},t) 分離成一个只与位置有关的函数 \psi (\mathbf{r}) 和一个只与时间有关的函数 f(t) ：
:\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t) 。

將這公式代入薛定谔方程，就会得到
: f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )} 。

而 \psi(\mathbf{r}) 则满足本徵能量薛丁格方程式：
:\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r}) 。

例子
自由粒子
3D空间中的自由粒子，其波矢 为 ， 角频率 为，其波函数为：

:\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.

無限深方形阱
粒子被限制在和之间的1D空间中，其波函数为:

:\begin{align}
\Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\
\Psi (x,t) & = 0, & x L \\
\end{align}

其中，\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}是能量本徵值，n是正整數，m是質量。

有限位势垒
在1D情况下，粒子处于如下势垒中：
:V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|
其波函数的定态解为(k, \kappa为常数)
:\psi (x) = \begin{cases}
A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & xa.
\end{cases}

量子点
和p轨道。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。|link=File:QuantumDot_wf.gif]]
量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

参閱

• 波包

参考文獻
注释