函数方程

函数方程是含有未知函数的方程。函数方程可以有一个解，可以无解，也可以有多个解，甚至可以有无穷多个解。

例子

• 函数方程

::
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

:的解是黎曼ζ函數。

• 函数方程

::\Gamma(x)={\Gamma(x+1) \over x}\,\!

:的解是伽玛函数。

• 函数方程

::\Gamma(z)\Gamma(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!

的解是伽玛函数。

• 更多例子：

::f(x + y) = f(x)f(y), \,\!的解是所有指数函数。

::f(xy) = f(x) + f(y)\,\!的解是所有对数函数。

::f(x + y) = f(x) + f(y)\,\! (柯西函数方程)

::F(az) = aF(z)(1-(z))\,\! (庞加莱方程)

::f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\! (琴生)

::g(x + y) + g(x - y) = 2g(x)g(y)\,\! (达朗贝尔)

::f(h(x)) = f(x) + 1\,\!（）。

解函数方程
函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。

例子：解函数方程f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2。

设x=y=0：f(0)^2=f(0)^2+f(0)^2。所以f(0)^2=0，f(0)=0。

现在，设y=-x：

:f(x-x)^2=f(x)^2+f(-x)^2
:f(0)^2=f(x)^2+f(-x)^2
:0=f(x)^2+f(-x)^2

由于实数的平方非负，以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零，因此对于所有x，f(x)^2=0，所以f(x)=0是唯一的解。

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