斜率

斜率（），在英式英語或部分領域亦稱梯度（），常以m表示，是數學中用以描述或度量直線「方向」和「陡度」的數值，概念等同於土木工程或地理中斜坡的「坡度（傾斜程度）」。

對於一直線，其上每一點的斜率皆相等，通常利用幾何或代數即可求得斜率；而對於一曲線，其上某一點的斜率被視為該點切線的斜率，曲線上的點斜率通常不盡相同，須利用微積分來求得各點斜率。

在直角坐標系中，斜率的符號決定了直線的走向：

• 若斜率為正（m > 0），直線呈上升趨勢（由左下走向右上）；
• 若斜率為負（m ），直線呈下降趨勢（由左上走向右下）；
• 若斜率為零（m = 0），直線為水平線；
• 若直線為與y軸平行的鉛直線，則其斜率為未定義（或稱不存在）。

斜率的一個相關概念是傾角（），或稱斜角，指的是直線與x軸正向所夾的、較小的逆時針角，其數值常以\theta表示，在解析幾何中通常取0^\circ \le \theta 。對非鉛直線（\theta \neq 90^\circ），其斜率為傾角的正切值（m = \tan\theta）；相對地，傾角可由斜率經由反正切函數求得：當m \ge 0時，\theta = \arctan(m)；當m 時，\theta = \arctan(m) + 180^\circ。

定義
對於直角坐標系上的直線L（非鉛直線），取其上任意兩相異點P_1 = (x_1, y_1)和P_2 = (x_2, y_2)，定義L的斜率為：

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

根據相似三角形的性質，對於同一條直線，其斜率的計算結果與所選取的兩點無關。

若將P_1到P_2的x坐標差記為\Delta x，y坐標差記為\Delta y，則斜率的定義式可改寫為：

m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

對於鉛直線L'，其上任意點的x座標皆相同（即x_1 = x_2），故\Delta x = 0。由於分母為0，因此L'的斜率通常是未定義的。

表示法
點斜式
給定直線L_1，其斜率為m，其上有一點(x_0, y_0)。則L_1的方程式可寫作：

L_1:y - y_0 = m(x - x_0).

斜截式
給定直線L_2，其斜率為m，其y截距為b（即過點 (0, b)）。則L_2的方程式可寫作：

L_2:y - b = mx.

若改為給定其x截距為a（即過點 (a, 0)），則方程式可寫作：

L_2:y = m(x - a).

截距式
給定直線L_3，其x截距為a \ne 0，其y截距為b \ne 0（即L_3與兩坐標軸皆有交點，且不過原點）。則L_3的方程式可寫作：

L_3:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.

兩點式
給定直線L_4，其上有兩相異點(x_1, y_1)和(x_2, y_2)，且x_1 \ne x_2（即L_4非鉛直線）。則可根據定義求出L_4的斜率：

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

並代入其上一點(x_1, y_1)，則L_4的方程式（點斜式）可直接寫作：

L_4:y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1).

一般式
給定直線L_5，其方程式皆可表示為以下形式（其中A^2 + B^2 > 0）：

L: Ax + By + C = 0.

有別於點斜式、斜截式與兩點式無法表示鉛直線，以及截距式無法表示鉛直線、水平線或過原點的直線；一般式可以表達直角坐標系上所有直線的方程式，換言之，其餘表達式皆可視為一般式的特例：

• 點斜式：y - y_0 = m(x - x_0)，實為一般式取 A = m、B = -1 與 C = y_0 - mx_0。
• 截距式：\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1，實為一般式取 A = b、B = a 與 C = -ab。

當B \neq 0時，可將一般式改寫為斜截式y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}，此時直線的斜率為m = -\frac{A}{B}。

示例
以右側的直線L為例，其方程式的不同表達如下：

• 點斜式：已知L過點(3, 4)和(6, 6)，因此其斜率m = \frac{6 - 4}{6 - 3} = \frac{2}{3}，點斜式為

L:y - 4 = \frac{2}{3}(x - 3).

• 斜截式：已知L的斜率m = \frac{2}{3}，且為過點(0, 2)（y截距為2 ），因此其斜截式為

L:y = \frac{2}{3}x + 2.

• 截距式：已知L過點(-3, 0)和(0, 2)（x截距為-3、y截距為2），因此其截距式為

L:\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1.

• 兩點式：已知L過點(3, 4)和(6, 6)，因此其兩點式為

L:y - 4 = \frac{6 - 4}{6 - 3}(x - 3).

:可以看出在需計算斜率時上，點斜式與兩點式的結果相同。

• 一般式：已知L過點(3, 4)和(6, 6)，假設其一般式為L:Ax + By + C = 0，則可列出聯立方程組：

\begin{cases}
3A + 4B + C = 0 \\
6A + 6B + C = 0
\end{cases}.

:解得(A, B, C) = (2, -3, 6)。因此L的一般式為2x - 3y + 6 = 0。

參見
*直線
*角度
*截距
*方程式
*方程组

參考文獻