角平分線

角平分线（英语：Angle Bisector）是几何学中的一个基本概念。它指的是从角的顶点出发，将角分成两个相等角的线段或射线。角平分线在几何问题中起着重要作用，无论是在理论证明中，还是在实际应用中，都能帮助我们理解和解决各种几何问题。

角平分线的定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质
1.角平分线把角分成两个一样角度的小角，都等于该角的一半

该性质的应用
\because\ OM \text{ 平分 } \angle AOB

\therefore\ \angle AOM = \angle MOB

2..角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

即如图所示：

OM平分{\angle}AOB,P为OM上一点,PE{\perp}OA于E,PF{\perp}OB于F,

则PE=PF。

该性质的证明
利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

{\because\quad}OM平分{\angle}AOB,

{\therefore\quad\angle}POE={\angle}POF.

{\because\quad}PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB,

{\therefore\quad\angle}OEP={\angle}OFP=90^{\circ}.

在{\triangle}OEP与{\triangle}OFP中,

\begin{cases}
{\angle}OEP={\angle}OFP, \\
{\angle}POE={\angle}POF, \\
OP=OP,
\end{cases}

{\therefore\quad\triangle}OEP{\;\cong\triangle}OFP(\mbox{AAS}).

{\therefore\quad}PE=PF.

证毕。

角平分线的判定
判定
与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一點至角两边距离相等，則該點在該角的角平分线上。

即：

已知{\angle}AOB,P为OM上一点,\;PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB.

如果PE=PF,那么OM平分{\angle}AOB.

证明
{\because\quad}PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB,

{\therefore\quad\angle}OEP={\angle}OFP=90^{\circ}.

在\mathrm{Rt}{\triangle}OEP与\mathrm{Rt}{\triangle}OFP中,

\begin{cases}
OP=OP, \\
PE=PF,
\end{cases}

{\therefore\quad}\mathrm{Rt}{\triangle}OEP\;{\cong}\mathrm{Rt}{\triangle}OFP(\mathrm{HL}).

{\therefore\quad\angle}POE={\angle}POF,

{\therefore\quad}OM平分{\angle}AOB.

证毕。

內心
任意三角形ABC中，{\angle}ABC、{\angle}BCA、{\angle}CAB 角平分線交於一點I，則我們稱此點I為三角形ABC的內心。

三角形的內心恆在圖形內部，且到三角形之三邊距離等長。

參見

参考文献