波尔文积分

波尔文积分（）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文和共同发表了这个涉及sinc函数的积分。

常见的例子为：
:
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2
\end{align}

这种规律一直到
: \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2.
都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：
:
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx
&= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&\simeq \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align}

公式
对于给定的一系列非零实数，即a_0,a_1,a_2\cdots，可以给出\int_0^\infty\prod_{k=0}^n\frac{\sin(a_kx)}{a_kx}\mathrm dx的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有a_k相关的量之和。特别的，设\gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)\in\{\pm1\}^n即由\pm1构成的n元组，于是可以写成b_\gamma=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n即有关a_k的各种加减形式的总和，并且令\varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n（其结果为\pm1）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

: \int_0^\infty\prod_{k=0}^n\frac{\sin(a_kx)}{a_kx}\mathrm dx=\frac{\pi}{2a_0}\cdot C_n

其中：

: C_n=\frac1{2^n\cdot n!\prod_{k=1}^na_k}\cdot\sum_{\gamma\in\{\pm1\}^n}\varepsilon_\gamma b_\gamma^n\operatorname{sgn}(b_n)

在这里如果a_0>|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|，那么有C_n=1。

进一步地，如果存在一个n对于每个k=0,\cdots,n-1总有0成立，并且有a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}，即n为首次超过a_0的前几项之和时的元素数量，即当k=0,\cdots,n-1时有C_k=1，但在其他情况时：

:C_n=1-\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n-a_0)^n}{2^{n-1}\cdot n!\prod_{k=1}^na_k}

在这里令a_k=\frac1{2k+1}，即当n=7时a_7=\frac1{15}，此时\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13}\approx0.955但是\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{15}\approx1.02，又由于a_0=1，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

: \int_0^\infty\frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin\frac x3}{\frac x3}\cdots\frac{\sin\frac x{13}}{\frac x{13}}\mathrm dx=\frac\pi2

但在另一方面，则有：

: \int_0^\infty\frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin\frac x3}{\frac x3}\cdots\frac{\sin\frac x{15}}{\frac x{15}}\mathrm dx=\frac\pi2\left[1-\frac{\left(\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{15}-1\right)^7}{2^6\cdot7!\cdot(3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15)^{-1}}\right]

即与前面给出的公式的结果相同。

参考资料