卢卡斯数列

卢卡斯数列是斐波那契数和卢卡斯数的推广，以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。

递推关系
给定两个整数P和Q，满足：

:P^2 - 4Q \neq 0

则第一类卢卡斯数列Un(P,Q)和第二类卢卡斯数列Vn(P,Q)由以下递推关系定义：

:U_0(P,Q)=0 \,

:U_1(P,Q)=1 \,

:U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

以及

:V_0(P,Q)=2 \,

:V_1(P,Q)=P \,

:V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,

代数关系
卢卡斯数列的特征方程是：
:x^2 - Px + Q=0 \,

它的判别式是D=P^2 - 4Q，它的根是：
:a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad , \quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,
注意a和b是不同的，因为D\ne 0.

卢卡斯数列的项可以用a和b的项定义如下：

:U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}

:V_n(P,Q)=a^n+b^n \,

从中我们可以推出以下关系：

:a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{D}}{2}

:b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{D}}{2}

其他关系
不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系，在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如：

特殊名称
对于某些P和Q的值，卢卡斯数列有特殊名称：

:Un(1,−1)：斐波那契数

:Vn(1,−1)：卢卡斯数

:Un(2,−1)：佩尔数

:Un(1,−2)：Jacobsthal数

应用

• LUC是一个基于卢卡斯数列的密码系统。

参考文献
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• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).