波塞利耶-利普金机械，发明于1864年，屬於平面连杆机构，是第一個真正可以將轉動運動轉換為直線運動的平面直線運動機構，它以法国陆军军官Charles-Nicolas Peaucellier（1832-1913）和立陶宛犹太人Yom Tov Lipman Lipkin（1846-1876，著名拉比Israel Salanter的兒子）的名字命名。
在此機構發明之前，在沒有參考導軌的情形下，沒有平面機構可以將直線運動完美的轉換為轉動運動。1864年時，所有的動力來源是來自蒸汽机，其中有活塞，由汽缸施力，往上或往下運動。活塞和汽缸需要有良好的密封特性，讓蒸汽机中的蒸汽可以維持在汽缸內，不會因為漏氣而降低能量輸出的效率。活塞和汽缸維持密封的作法是讓活塞維持和汽缸壁平行的直線運動。因此如何讓活塞的直線運動轉換為旋轉運動就變的非常重要，大部份的蒸氣機應用都是旋轉運動。
波塞利耶-利普金机械的數學和圓的有關。
薩魯斯連桿機構
在波塞利耶-利普金机械之前，有另外一個立體的直線運動機構，稱為，比波塞利耶-利普金机械早11年發明，是由一組以樞紐相連的長方形組成。長方形之間可以以樞紐為軸旋轉，而長方形上的頂點會直線運動。薩魯斯連桿機構屬於立體的空間機構。
幾何
在波塞利耶-利普金机械的幾何圖中，有六個固定長度的桿：OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC長度相同，而AB、BC、CD和DA的長度也都相同，形成菱形。O點是固定點。若B點限制在一個圓的圓周上運動（例如以OB為直徑，通過O和B二點的圓，圖中紅色的圖）。D點會延著直線運動（圖中的藍線）。若點B限制在一直線上運動（不通過O點的直線），則D點會在圓周上運動（通過O點的圓周）。
數學證明
共線
首先，需要證明O點、B點和D點共線。這可以用觀察的方式得知，連桿是兩側對稱的，以直線OD為對稱軸，因此B一定在此線上。
若要用正式的方式證明。因為邊BD和自身相等，邊BA和邊BC相等，邊AD和邊CD相等，因此三角形BAD和三角形BCD全等，角BAD和角BCD相等。
接下來要證明三角形OBA和三角形OBC全等。因為線OA和線OC相等，邊OB和自身相等，邊BA和邊BC相等，因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。
以下四個角的和是一個圓角，因此
:∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°
但因為三角形的全等，角OBA = 角OBC，角DBA = 角DBC，因此
:2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°
:∠OBA + ∠DBA = 180°
因此，點O、B、D共線。
反演點
令點P為線段AC和線段BD的交點。因為ABCD是菱形，P會是線段AC和線段BD的中點，因此，線段BP和線段PD等長。
因為邊BP和邊DP相等，邊AP和自身相等，邊AB和邊AD相同，因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等於角DPA。但因為角BPA + 角DPA = 180°，因此角BPA和角DPA都是90°。
令：
: x = \ell_{BP} = \ell_{PD}
: y = \ell_{OB}
: h = \ell_{AP}
則：
:\ell_{OB}\cdot \ell_{OD}=y(y+2x)=y^2+2xy
:{\ell_{OA}}^2 = (y + x)^2 + h^2 （因為畢氏定理）
:{\ell_{OA}}^2 = y^2 + 2xy + x^2 + h^2
:{\ell_{AD}}^2 = x^2 + h^2 （因為畢氏定理）
:{\ell_{OA}}^2 - {\ell_{AD}}^2 = y^2 + 2xy = \ell_{OB} \cdot \ell_{OD}
因為OA和AD的長度固定,，因此OB和OD的乘積為定值：
:\ell_{OB}\cdot \ell_{OD} = k^2
又因為O點、B點和D點共線，因此D點是B點相對圓(O,k)（圓心在O點，半徑為k）的反演點。
反演幾何
透過的特性，因為點D的軌跡是點B軌跡的反演。若B的軌跡是通過反演中心O的圓，則點D的軌跡會是一直線。若點B的軌跡是不通過點O的直線，則點D的軌跡是通過點O的圓。Q.E.D.
典型的主動件
波塞利耶-利普金机械有許多的反演機構。其中一個如圖所示，以滑塊搖桿四連桿（ rocker-slider four-bar）為輸入，若要再細分，滑塊為輸入，使得搖桿以及波塞利耶-利普金机械轉動。
展覽物
在荷蘭埃因霍溫的永久展覽品中，有展覽物就是以此機構為主題。此展覽物大小為，重，遊客可以透過控制盤操作。
相關條目
*哈特倒置器
*连杆机构
參考資料
文獻
*
- — proof and discussion of Peaucellier–Lipkin linkage, mathematical and real-world mechanical models
- (and references cited therein)
- Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) [http://kmoddl.library.cornell.edu/bib.php?m=23 Kinematic synthesis of linkages] , pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University.
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*
外部連結
- [https://web.archive.org/web/20080125112743/http://www.howround.com/ How to Draw a Straight Line, online video clips of linkages with interactive applets.]
- [http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/04/ How to Draw a Straight Line, historical discussion of linkage design]
- [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ggb/Peaucellier_Linkage_line.html Interactive Java Applet with proof.]
- [http://www.math.toronto.edu/~drorbn/People/Eldar/thesis/index.html Java animated Peaucellier–Lipkin linkage]
- [http://bible.tmtm.com/wiki/LIPKIN_%28Jewish_Encyclopedia%29 Jewish Encyclopedia article on Lippman Lipkin] and his father Israel Salanter
*[https://web.archive.org/web/20061208133000/http://www.ies.co.jp/math/java/geo/hantenki/hantenki.html Peaucellier Apparatus] features an interactive applet
*[http://mw.concord.org/modeler1.3/mirror/mechanics/peaucellier.html A simulation] using the Molecular Workbench software
*[http://mathworld.wolfram.com/HartsInversor.html A related linkage] called Hart's Inversor.
*[http://vamfun.wordpress.com/2011/07/13/team-1508a-vex-peaucellier-lift-roundup-youtube-video/ Modified Peaucellier robotic arm linkage (Vex Team 1508 video)]
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