十七边形

{{infobox regular polygon
|image=Regular polygon 17 annotated.svg
|edges=17
|S. symbol={17}
|C-D diagram=
|angle=(158\frac{14}{17})
}}
十七边形是指幾何學中有17條邊及17隻角的多邊形。其內角和為2700°，有119條對角線。

正十七邊形是有17邊的正多邊形。正十七邊形的每个內角為度。

英文裏，詹·何頓·康威認為是錯誤的拼法，應為。

作圖方法
作圖
1796年高斯证明了可以用尺規作圖作出正十七邊形，同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一个作圖方法如下：

可作圖性亦同時顯示2\pi\over17的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書Disquisitiones包含了這條等式：

:\operatorname{cos}{2\pi\over17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}.

證明
設正十七邊形中心角為\alpha,则17 \alpha = 360^\circ度,

即16 \alpha = 360^\circ - \alpha

故\sin 16\alpha = - \sin \alpha，而

\begin{align}
\sin 16\alpha & = 2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\
& = 2^2\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\
& = 2^4 \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\
\end{align}

因為\sin \alpha \ne 0，则

16 \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha = -1

又由 2\cos \alpha \cos \beta = \cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta )等，有

2(\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cdots + \cos 8\alpha) = -1

而\cos 15\alpha = \cos 2\alpha，\cos 12\alpha = \cos 5\alpha，令

x = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 8\alpha

y = \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 6\alpha + \cos 7\alpha

有：

x + y = - \frac {1}{2}

又

\begin{align}
xy & = (\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 8\alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 6\alpha + \cos 7\alpha) \\
& = \frac {1}{2} (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 4\alpha + \cos 6\alpha + \cdots + \cos \alpha + \cos 15\alpha) \\
& = -1 \\
\end{align}

所以，得

x = \frac {-1 + \sqrt{17}}{4}

y = \frac {-1 - \sqrt{17}}{4}

另设:

x_1 = \cos \alpha + \cos 4\alpha，x_2 = \cos 2\alpha + \cos 8\alpha，

y_1 = \cos 3\alpha + \cos 5\alpha，y_2 = \cos 6\alpha + \cos 7\alpha

故有

x_1 + x_2 = \frac {-1 + \sqrt{17}}{4}

y_1 + y_2 = \frac {-1 - \sqrt{17}}{4}

最後，由

\cos \alpha + \cos 4\alpha = x_1

\cos \alpha \cos 4\alpha = \frac{y_1}{2}

可得

\cos \alpha=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}

其为整数加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。

外部链接
以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖：
*[http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html 尺規作圖-正十七邊形]
*[https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html 원에 내접하는 정17각형]
*[https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html Constructing the Heptadecagon]
*Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html Heptadecagon]