數學中 ，填充维度是一種可用于定义度量空间中子集之维度的概念。某種程度上，填充維度和郝斯多夫維度是對偶的，因為填充維度是利用「填充」給定的子集來定義，而郝斯多夫維度是利用「覆蓋」給定的子集來定義。填充維度C.Tricot Jr.在1982年引入。
定義
设(X,d)是度量空間且S\subseteq X，那麼對s\ge 0，定義S的s維的填充前測度（packing pre-measure）為
: {\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\le|\mathbb{N}|,\\{\text{球}\;\;B_i\cap B_j=\varnothing\;\forall i,j\in I},\\\text{diam}(B_i)\leq \delta,B_i\text{ 的 圓 心 }\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}
上式只是一个前測度，而非真正的测度，S的s維填充測度的定義是
:{\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},|J|\leq |N|\right\},}
即填充測度是其可數個覆蓋的填充前測度和的最大下界。
如此一來，S的填充維度定義為
: \begin{align}
\dim_\mathrm P(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^s(S)=0\right\}\\&= \sup \{ s \geq 0 | P^s (S) = + \infty \}
.\end{align}
示例
以下示例是填充維度與郝斯多夫維度不相等最简单的情况。
(a_n)考慮序列(a_n)(a_n) (a_n )使得a_0且0。定義一系列的緊緻集E_0 \supset E_1 \supset E_2 \supset \cdots如下：
- 設E_0=[0,1]。
- 對每個E_n（n\in\mathbb{N}）的線段，去除中間長為a_n - 2a_{n+1}的開區間，以得到兩個長為長為a_{n+1}的閉區間。
現在定義K = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} E_n。可以證明
: \begin{align}
\dim_{\mathrm{H}} (K) &{} = \liminf_{n\to\infty} \frac{n \log 2}{- \log a_n} \, , \\
\dim_{\mathrm{P}} (K) &{} = \limsup_{n\to\infty} \frac{n \log 2}{- \log a_n} \, .
\end{align}
容易知道對給定的數0 \leq d_1 \leq d_2 \leq 1，我們可以取序列 (a_n )使得上面兩個維度分別是d_1,d_2。
參見
- 郝斯多夫维度
- 計盒维度
参考資料
*
评论 (0)