廣義速度

拉格朗日力學時常涉及廣義速度。假設一個物理系統的廣義坐標是(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N)\,\!，表示廣義速度為(\dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dot{q}_3,\ \dots,\ \dot{q}_N)\,\!。廣義速度定義為廣義坐標對於時間t\,\!的導數：
:\dot q_i={dq_i \over dt}\,\!。

與動能的關係
在三維空間裏，一個質量為m\,\!、速度為\mathbf{v}\,\!的粒子的動能是
:T =\frac{1}{2}m v^2 \,\!。

速度是位置\mathbf{r}\,\!對於時間t\,\!的導數。應用链式法则}-，可以得到
:\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\,\!；

其中，q_i\,\!是第i\,\!個廣義坐標，\dot{q}_i\,\!是對應的廣義速度。

所以，
:T =\frac{1}{2}m\left(\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!。

將方程式展開，動能可以分為三個項目表示：
:T =T_0+T_1+T_2\,\!；

其中，
:T_0=\frac{1}{2}m\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!，
:T_1=\sum_i\ m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i\,\!，
:T_2=\sum_{i,j}\ \frac{1}{2}m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\dot{q}_i\dot{q}_j,\!。

T_0\,\!、T_1\,\!、T_2\,\!分別為廣義速度\dot{q}_i\,\!的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地含時間，\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=0\,\!，則只有T_2\,\!不等於零。所以，T =T_2\,\!，動能是廣義速度的2次齊次函數。

參閱
*拉格朗日力學
*哈密頓力學
*虛功
*廣義力

參考文獻