在概率論和統計學中，一個實數值隨機變量的動差-{}-母函數（）又稱動差-{}-生成函數，-{zh-hans:矩;zh-tw:動差}-亦被稱作-{zh-tw:矩;zh-hans:动差}-，矩生成函數是其概率分佈的一種替代規範。 因此，與直接使用概率密度函數或累積分佈函數相比，它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數，有特別簡單的結果。 然而，並非所有隨機變量都具有矩生成函數。
顧名思義，矩生成函數可用於計算分佈的矩：關於 0 的第n個矩是矩生成函數的第n階導數，在 0 處求值。
除了實值分佈（單變量分佈），矩生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變量，甚至可以擴展到更一般的情況。
與特徵函數不同，一個實數值分佈的矩生成函數並不總是存在。 分佈的矩生成函數的行為與分佈的性質之間存在關係，例如矩的存在。
定義
隨機變數X的動差母函數定義為：
:M_X(t)=\mathbb{E}\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R}
前提是这个期望值存在。
计算
如果X具有连续概率密度函数f(x)，则它的動差母函數由下式给出：
:M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x
::: = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
::: = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots
其中m_i是第i阶矩。M_X(-t)是f(x)的双边拉普拉斯变换。
不管概率分布是不是连续，矩生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：
::M_X(t) = \int_{0}^1 e^{tx}\,dF(x)
其中F是累积分布函数。
如果X_1,X_2,\ldots,X_n是一系列独立的随机变量，且
::S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i
其中a_i是常数，则S_n的概率密度函数是每一个X_i的概率密度函数的卷积，而S_n的矩生成函数则为：
::M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt) 。
对于分量为实数的向量值随机变量X，矩生成函数为：
: M_X(\mathbf{t}) = \operatorname{E}\left( e^{\langle \mathbf{t}, \mathbf{X}\rangle}\right)
其中\mathbf{t}是一个向量，\langle \mathbf{t} , \mathbf{X}\rangle 是数量积。
意义
只要矩生成函数在t=0周围的开区间存在，第n个矩为：
::\operatorname{\mathbb{E}}\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n M_X(t)}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} 。
如果矩生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。
一些其它在概率论中常见的积分变换也与矩生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。
累积量生成函数是矩生成函数的对数。
例子
下面是一些矩生成函數和特徵函數的例子，用於比較。 可以看出，特徵函數是矩生成函數M_X(t)存在時的威克轉動（Wick rotation）。
:
|-
|Multivariate Cauchy
\operatorname{MultiCauchy}(\mu, \Sigma)
|不存在
|\!\, e^{i\mathbf{t}^{\mathrm{T}}\boldsymbol\mu - \sqrt{\mathbf{t}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}}}
|-
|}
参见
- 主動差
- 矩
- 阶乘矩生成函数
- 速率函数
註
参考文献
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