磁矢势

磁矢势（），通常標記為 \mathbf{A} 。磁向量勢的旋度是磁場，以方程式表示
:\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} ；

其中，\mathbf{B} 是磁場。

直觀而言，磁向量勢似乎不及磁場來得「自然」、「基本」，而在一般電磁學教科書亦多以磁場來定義磁向量勢。在電磁學發展初期，很多學者認為磁向量勢對於給定介質狀態並沒有實際物理意義，除了方便計算以外，別無其它用途。但是，詹姆斯·馬克士威頗不以為然，他認為磁向量勢可以詮釋為「每單位電荷儲存的動量」，就好像電勢被詮釋為「每單位電荷儲存的能量」。相關論述，稍後會有更詳盡解釋。

磁向量勢並不是唯一定義的；其數值是相對的，相對於某設定數值。因此，學者會疑問到底儲存了多少動量？不論如何，磁向量勢確實具有實際意義。尤其是在量子力學裏，於1959年，阿哈諾夫－波姆效應闡明，假設一個帶電粒子移動經過某零電場、零磁場、非零磁向量勢場區域，則此帶電粒子的波函數相位會有所改變，因而導致可觀測到的干涉現象
。現在，越來越多學者認為電勢和磁向量勢比電場和磁場更基本。不單如此，有學者認為，甚至在經典電磁學裏，磁向量勢也具有明確的意義和直接的測量值。

磁向量勢與電勢可以共同用來設定電場與磁場。許多電磁學的方程式可以以電場與磁場寫出，或者以磁向量勢與電勢寫出。較高深的理論，像量子力學理論，偏好使用的是磁向量勢與電勢，而不是電場與磁場。因為，在這些學術領域裏所使用的拉格朗日量或哈密頓量，都是以磁向量勢與電勢表達，而不是以電場與磁場表達。

開爾文男爵最先於1851年引入磁向量勢的概念，並且給定磁向量勢與磁場之間的關係。

定義與公式
根據高斯磁定律，磁場是螺線向量場；在空間裏任意位置，磁場的散度等於零：
:\nabla\cdot\mathbf{B} =0 。

那麼，根據亥姆霍兹定理（），必定存在一個極向量場（）\mathbf{A} ，滿足方程式
:\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} 。(1)

因此，假設 \mathbf{A} 在所有位置都是連續性的、良好定義的，則磁單極子絕對不存在。

又根據安培定律，
:\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} ；

其中，\mu_0 是磁常數，\mathbf{J} 是電流密度。

應用一則向量恆等式，再採用庫侖規範（）， \nabla\cdot\mathbf{A}=0 ，可以得到
:\nabla\times\mathbf{B} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}= - \nabla^2\mathbf{A} 。

所以，從安培定律可以推導出電流的帕松方程式：
:\nabla^2\mathbf{A}= - \mu_0 \mathbf{J} 。

這帕松方程式的解為
:\mathbf{A}(\mathbf{r})=\ \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}\, d^3\mathbf{r}' ；

其中，\mathbf{r} 是場位置， \mathbf{r}' 是源位置，\mathbb{V}' 是體積分的空間，d^3\mathbf{r}' 是微小體元素。

根據法拉第感應定律，
: \nabla \times \mathbf{E}= - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}= - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\times\mathbf{A}) ；

其中，\mathbf{E} 是電場。

重新編排，
: \nabla \times \left(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)=0 。

所以，在圓括弧內的表達式具有保守性，是某函數 \phi 的梯度：
:\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}= - \nabla\phi 。

設定 \phi 為電勢，重新編排，可以得到電場、電勢、磁向量勢這三者之間的關係式：
:\mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } 。(2)

在電動力學和量子力學裏，採用拉格朗日表述，拉格朗日量會用到磁向量勢 \mathbf{A} 。{{NoteTag|在帶電粒子的拉格朗日力學裡，正則動量\mathbf為
:\mathbf=m\mathbf+q\mathbf；

其中，m是質量，\mathbf是速度，q是電荷。

在某些狀況下，守恆的不是m\mathbf，而是\mathbf，因此，m\mathbf與q\mathbf兩個項共同貢獻出正確的守恆動量。

在量子力學裡，帶電粒子的薛丁格方程使用的基礎物理量是磁向量勢，而不是磁場。。

磁向量勢場線圖
（繪圖顯示出其截面），其內部（灰色）的磁場 \mathbf{B} （深藍色）不等與零，其外部（淺藍色）的磁場等與零。這環形電感器在外部所生成的磁向量勢 \mathbf{A} （紅色）不等於零，紅線越粗代表磁向量勢的大小越強。深藍色圓點表示磁場朝外指出（從顯示屛幕指向眼睛）；深藍色加號表示磁場朝內指入（從眼睛指向顯示屛幕）。]]
關於載流螺線管周圍的磁向量勢繪圖，請參閱理查·費曼的著作。

在靜磁學裏，安培方程式為 \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} 。這與方程式 \nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B} \ 很相像。因此，磁場 \mathbf{B} 所生成的磁向量勢 \mathbf{A} 的場線，就好似電流密度 \mu_0\mathbf{J} 所生成的磁場 \mathbf{B} 場線，所以，在一圈磁通量周圍的磁向量勢的場線，看起來就好似在一圈電流周圍的磁場線。

右圖顯示出磁向量勢的場線。紅線越粗代表磁向量勢越強（路徑越短，磁向量勢越強，但是磁向量勢的閉合路徑積分相同）。

採用庫侖規範，磁場的散度和旋度分別為
:\nabla\cdot\mathbf{B}=0 、
:\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} ；

而磁向量勢的散度和旋度分別為
:\nabla\cdot\mathbf{A}=0 、
:\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B} 。

所以，可以將 \mathbf{A} 類比於 \mathbf{B} 。磁向量勢的源頭是磁場，就如同磁場的源頭是電流。

歷史
麥可·法拉第最先提出電緊張態的概念。在研究電磁感應理論時，他發現當將物體放在磁鐵或電流的附近時，物體會進入一種狀態。假若不打擾這系統，則處於此狀態的物體不會自發地顯示出任何現象。但是，一當系統有所變化，像磁鐵被移動了，或電流被增大了，則這狀態也會改變，因而產生電流或趨向產生電流。法拉第稱此狀態為「電緊張態」（electrontonic state）。但是，這概念並沒有被很明確地說明。

後來，開爾文男爵於1851年引入磁向量勢的概念，並且給定磁向量勢與磁場之間的關係：以現代標記表示，這方程式為
:\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{A}}。

這是馬克士威學術生涯中的第一個重要突破，他將法拉第的電緊張態辨識為開爾文男爵的磁向量勢，並且對於電緊張態給出嚴格定義。即任意添加一個函數的梯度給磁向量勢，都不會改變磁向量勢與磁場的關係式、法拉第感應方程式，這數學性質後來演化為現今規範自由的概念。

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